Задания № 25, 26 · ЕГЭ

Основная теорема арифметики

Единственность разложения натурального числа на простые множители

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Основная теорема арифметики утверждает: каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, причём такое разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Для любого натурального числа \(n>1\) существует разложение на простые числа, и если порядок множителей не учитывать, другого разложения на простые числа быть не может. Число \(1\) не считается простым и не входит в разложение.

Формулировка

Иными словами, набор простых множителей числа определяется однозначно. Например, множители можно переставлять: \(2\cdot3\cdot5=5\cdot2\cdot3\), но получить другой набор простых чисел нельзя.

\[n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},\qquad p_i\text{ — простые числа},\quad \alpha_i\in\mathbb{N}.\]

Здесь \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) — различные простые делители числа \(n\), а \(α_1,α_2,\ldots,α_k\) показывают, сколько раз каждый из них входит в произведение. Такая запись используется в задачах на делимость, общий делитель и кратность.

№

Пример

Разложим число \(360\): \(360=2\cdot180=2^2\cdot90=2^3\cdot45=2^3\cdot3^2\cdot5\). Поэтому каноническое разложение имеет вид \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\). Любая другая запись произведения простых множителей отличается только порядком множителей.

Не путайте с факторизацией

Факторизация — это сам процесс разложения числа на множители. Основная теорема арифметики сообщает важное свойство результата: если множители простые, их набор единственен. Также не следует считать \(1\) простым множителем: добавление единиц позволило бы получать бесконечно много записей.

Проверьте себя

Какое утверждение верно для числа \(84\)?

Главное за минуту

Главное

Каждое натуральное число \(n>1\) раскладывается в произведение простых чисел.
Разложение единственно с точностью до порядка множителей.
Степени простых множителей показывают, сколько раз каждый простой делитель входит в число.