Задания № 25, 26 · ЕГЭ

Факторизация

Разложение натурального числа на простые множители
2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Факторизация — это представление натурального числа в виде произведения простых чисел. Она используется, чтобы исследовать делители числа и решать задачи на НОД, НОК и делимость.

ФакторизацияСлово происходит от латинского factor — «делающий», «множитель».
Факторизация натурального числа \(n>1\) — разложение его на произведение простых множителей с указанием их степеней. Согласно Основной теореме арифметики, такое разложение единственно с точностью до порядка множителей.
\[n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k},\qquad p_i\text{ — простые числа},\quad a_i\ge 1\]

Как выполняют факторизацию

Простейший алгоритм — последовательное деление. Проверяют возможные делители \(d=2,3,4,\ldots\) и, если \(d\) делит текущее число без остатка, записывают \(d\) как множитель и делят число на \(d\) снова. После каждого успешного деления проверку начинают с того же делителя. Достаточно проверять делители, не превосходящие \(\sqrt n\): если у числа есть нетривиальный делитель, то один из парных делителей не больше квадратного корня.

№
Пример

Разложим \(360\). Последовательно выделяем множители: \(360=2\cdot180=2^2\cdot90=2^3\cdot45=2^3\cdot3\cdot15=2^3\cdot3^2\cdot5\). Значит, факторизация числа: \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\).

!
Не путайте

Факторизация — это разложение числа именно на простые множители. Запись \(60=6\cdot10\) является разложением на множители, но ещё не факторизацией: числа \(6\) и \(10\) составные. Нужно продолжить: \(60=2^2\cdot3\cdot5\).

Микропроверка

Какая запись является полной факторизацией числа \(84\)?

Главное за минуту

Главное

  • Факторизация — единственное, с точностью до порядка, представление числа как произведения простых степеней.
  • Основной способ — последовательное деление; достаточно проверять делители до \(\sqrt n\).
  • Составные найденные множители нужно разложить дальше, пока не останутся только простые числа.