Задания № 25, 26 · ЕГЭ

Наименьшее общее кратное

Определение, формула и способы вычисления НОК

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это наименьшее положительное число, которое делится на каждое из них без остатка. НОК используют, когда нужно найти первый общий момент повторяющихся событий или согласовать несколько периодов.

Наименьшее общее кратное (НОК)Слово «кратное» связано с тем, что искомое число получается умножением данного числа на целое число.

Для натуральных чисел \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) их наименьшее общее кратное — наименьшее положительное натуральное число \(m\), такое что каждое \(a_i\) делит \(m\): \(a_i\mid m\). Обозначают: \(\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\ldots,a_n)\) или \(\text{НОК}(a_1,a_2,\ldots,a_n)\).

НОК относится к базовым понятиям теории чисел и опирается на понятие наибольшего общего делителя (НОД). Для двух положительных чисел НОК можно найти через НОД:

\[\operatorname{НОК}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{НОД}(a,b)}\]

Другой способ — разложить числа на простые множители. В разложении берут каждый встречающийся простой множитель в наибольшей степени, а затем перемножают их. Например, если \(a=2^3\cdot3\) и \(b=2\cdot3^2\cdot5\), то НОК равен \(2^3\cdot3^2\cdot5\).

№

Пример

Найдём НОК чисел 12 и 18. Разложения: \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\). Берём максимальные степени простых множителей: \(2^2\) и \(3^2\). Поэтому \(\text{НОК}(12,18)=2^2\cdot3^2=36\). Число 36 делится и на 12, и на 18, а меньшего положительного общего кратного нет.

Не путайте НОК и НОД

НОД — это наибольшее число, которое делит данные числа. НОК, наоборот, само делится на каждое из данных чисел. Например, для 12 и 18 НОД равен 6, а НОК — 36.

Проверь себя

Чему равен НОК чисел 8 и 12?

Главное за минуту

Главное

НОК — наименьшее положительное число, кратное каждому из данных чисел.
Для двух чисел \(\text{НОК}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,b)}\).
При разложении на простые множители берут максимальную степень каждого простого множителя.