Делимость чисел
Делимость показывает, можно ли разделить одно целое число на другое без остатка. Это базовое понятие теории чисел, необходимое для изучения простых чисел и разложения чисел на множители.
Например, \(3\mid12\), потому что \(12=3\cdot4\). Здесь 3 — делитель 12, 12 — кратное 3, а 4 — частное. Если такого целого \(k\) не существует, то \(a\) на \(b\) не делится. Знак \(a\mid b\) читают как «\(a\) делит \(b\)».
Для целых чисел выполняются правила: \(1\mid a\) и \(a\mid0\) при \(a\ne0\); если \(a\mid b\) и \(b\mid c\), то \(a\mid c\); если \(a\mid b\) и \(a\mid c\), то \(a\mid(b+c)\) и \(a\mid(b-c)\); если \(a\mid b\), то \(a\mid b\cdot m\) для любого целого \(m\). Поэтому делитель общего множителя делит любую его целочисленную комбинацию \(mb+nc\).
Проверим, делится ли 42 на 6: \(42=6\cdot7\), где 7 — целое число. Значит, \(6\mid42\), 6 — делитель, а 42 — кратное 6. Число 43 на 6 не делится: при делении получается остаток 1.
Запись \(a\mid b\) означает, что а делит b, а не наоборот. Например, верно \(4\mid20\), но неверно \(20\mid4\). Также делимость — это не то же самое, что деление: результат деления должен быть целым.
Какое утверждение верно?
Главное
- \(b\mid a\) означает, что \(a=b\cdot k\) для некоторого целого \(k\).
- Делитель умножается на целое число и даёт кратное; направление записи имеет значение.
- Делимость сохраняется при сложении, вычитании и умножении на целое число.