Расчёт площади по масштабу
Чтобы найти действительную площадь территории по её изображению на карте, нужно учесть масштаб по двум измерениям: длине и ширине. Поэтому численный знаменатель масштаба при расчёте площади возводят в квадрат.
Что показывает масштаб при расчёте площади
Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояния на карте уменьшены по сравнению с соответствующими расстояниями на местности. Например, масштаб \(1:100\,000\) означает, что 1 см на карте соответствует 100\,000 см на местности, то есть 1 км.
Если линейный масштаб карты равен \(1:M\), то каждому отрезку на карте соответствует отрезок на местности, в \(M\) раз больший. Площадь при этом увеличивается не в \(M\), а в \(M^2\) раз, потому что площадь образована двумя измерениями.
Площадь изображения на карте обычно находят в квадратных сантиметрах, если длины измеряют линейкой в сантиметрах. Затем результат переводят в квадратные единицы местности: квадратные метры, гектары или квадратные километры.
При масштабе \(1:M\) площадь территории равна площади её изображения на карте, умноженной на квадрат знаменателя масштаба: \(S_{\text{местности}}=S_{\text{карты}}\cdot M^2\). Все длины перед применением формулы должны быть выражены в одной единице.
Единицы измерения и перевод площади
Главная трудность таких задач — не сама формула, а правильный перевод единиц. Если масштаб задан в сантиметрах, сначала удобно получить площадь в квадратных сантиметрах, а потом перейти к нужным единицам.
| Величина | Равенство |
|---|---|
| 1 м | 100 см |
| 1 м² | 10 000 см² |
| 1 км | 100 000 см |
| 1 км² | 10 000 000 000 см² |
| 1 га | 10 000 м² |
| 1 км² | 100 га |
Например, \(1\ \text{см}^2\) на карте масштаба \(1:100\,000\) соответствует \(100\,000^2=10\,000\,000\,000\ \text{см}^2\) на местности. Так как это \(1\ \text{км}^2\), можно запомнить удобное правило: при масштабе \(1:100\,000\) один квадратный сантиметр карты соответствует одному квадратному километру местности.
Если знаменатель масштаба сначала перевести в километры на 1 см, расчёт становится короче. Например, при масштабе \(1:200\,000\) \(1\) см карты соответствует \(2\) км, поэтому \(1\ \text{см}^2\) соответствует \(2^2=4\ \text{км}^2\).
Алгоритм решения задач
Площадь на карте может быть дана непосредственно, через стороны прямоугольника или через квадратную сетку. Если фигура сложная, её разбивают на простые части или используют результат определения площади по квадратной сетке.
- Запишите масштаб в виде \(1:M\) и определите знаменатель \(M\).
- Найдите площадь изображения на карте \(S_{\text{карты}}\) в квадратных сантиметрах или другой удобной единице.
- Возведите знаменатель масштаба в квадрат.
- Умножьте площадь изображения на \(M^2\).
- Переведите результат в требуемые единицы площади.
- Проверьте порядок величины: площадь местности должна быть больше площади изображения при масштабе мельче \(1:1\).
Если на карте измерены стороны прямоугольника \(a\) и \(b\), сначала применяют формулу площади прямоугольника, а затем масштабный коэффициент.
На карте масштаба \(1:50\,000\) участок занимает \(2\ \text{см}^2\). Чему равна его площадь на местности?
Разобранный пример
На карте масштаба \(1:200\,000\) прямоугольный участок имеет длину \(3{,}5\) см и ширину \(2\) см. Найдите площадь участка в квадратных километрах.
Ответ: \(28\ \text{км}^2\). Первый способ обычно удобнее, если известны стороны фигуры. Второй способ универсален и напрямую показывает, почему знаменатель масштаба возводится в квадрат.
Сложные фигуры и точность измерений
Если граница территории имеет неправильную форму, её площадь определяют приближённо: разбивают фигуру на прямоугольники, треугольники и части квадратной сетки, находят сумму площадей, а затем выполняют пересчёт по масштабу. Такой подход связан с определением площади по карте в целом.
Измерения на карте не абсолютно точны. Толщина линий, размер условных знаков, неровность границы и цена деления линейки влияют на результат. Чем мельче масштаб, тем меньшая ошибка измерения на карте может соответствовать большой ошибке на местности. Вопросы о пределах точности рассматриваются на странице точности измерений по карте.
Для маршрутов с изгибами сначала применяют измерение расстояния по кривой линии, но площадь маршрута и площадь территории — разные величины. Не следует подменять площадь длиной границы или длиной маршрута.
1. Умножают площадь на \(M\), а не на \(M^2\). 2. Возводят в квадрат число 100 000, но забывают перевести квадратные сантиметры в квадратные километры. 3. Переводят \(\text{см}^2\) в метры как \(1\ \text{м}^2=100\ \text{см}^2\) — правильно \(1\ \text{м}^2=10\,000\ \text{см}^2\). 4. Округляют промежуточные значения слишком рано. 5. Используют стороны в сантиметрах и километры в одной формуле без предварительного перевода единиц.
Линейный масштаб увеличивает каждую сторону в \(M\) раз, а площадь — в \(M^2\) раз. Поэтому масштаб для площади всегда пересчитывают квадратом.
Проверь себя
Главное
- При масштабе \(1:M\) площадь местности находят по формуле \(S_{\text{местности}}=S_{\text{карты}}\cdot M^2\).
- Сначала вычисляют площадь изображения, затем возводят знаменатель масштаба в квадрат и выполняют перевод единиц.
- При масштабе \(1:100\,000\) один квадратный сантиметр карты соответствует одному квадратному километру местности.
- Для сложных фигур используют разбиение на простые фигуры или квадратную сетку.
- Особенно внимательно проверяйте квадратные единицы: \(1\ \text{м}^2=10\,000\ \text{см}^2\), а не 100 см².