Решение: Решите уравнение: $\left( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^x = 2 - \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}
Решите уравнение:
$\left( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^x = 2 - \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \right)^x$
Решение по шагам
4 шагаУпростите радикалы: $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
Подставьте: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^x = 2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^x$.
Проверьте вариант $x=0$: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^0 = 1$, $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^0 = 1$, тогда правая часть: $2 - 1 = 1$. Равенство выполнено: $1=1$.
Проверьте другие варианты: при $x=1$ — слева $\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx 0.318$, справа $2 - (\sqrt{3}+\sqrt{2})\approx 2-3.146=-1.146$ — неравно. Варианты A и D не подходят, так как они не числа, а выражения, и не удовлетворяют уравнению.
Где здесь ошибаются
Не упрощение радикалов и попытка решить уравнение логарифмическим способом без проверки простых значений.
Ошибочное принятие $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{5}-\sqrt{2\sqrt{6}}$ вместо использования формулы полного квадрата.