Решение: Решите неравенство: (x - 4)²(3 - x)(5x + 10) ≥ 0
Решение по шагам
3 шагаНайдём корни выражения: $(x-4)^2=0$ при $x=4$, $3-x=0$ при $x=3$, $5x+10=0$ при $x=-2$.
Кратности: у $(x-4)^2$ — чётная (2), у $(3-x)$ и $(5x+10)$ — нечётные (по 1).
Запишем неравенство в виде произведения с учётом знаков: $5(x+1)(x-4)^2(3-x) \ge 0$ (вынесем положительный множитель 5, не влияющий на знак).
Множитель $(x-4)^2 \ge 0$ всегда, равен нулю только при $x=4$.
Знак определяется $(x+1)(3-x)$ — то есть $-(x+1)(x-3)$.
Неравенство $(x+1)(3-x) \ge 0$ эквивалентно $-(x+1)(x-3) \ge 0$ → $(x+1)(x-3) \le 0$.
Решаем $(x+1)(x-3) \le 0$: решение $x \in [-2; 3]$.
Учтём точку $x=4$: в ней $(x-4)^2=0$, значит всё выражение равно 0 → удовлетворяет неравенству.
Точки $x=-2$ и $x=3$: делают один из линейных множителей нулевым → выражение равно 0 → включаем.
Итак, решение: все $x$ из $[-2; 3]$ плюс изолированная точка $x=4$.
Где здесь ошибаются
Исключили точку x=4, забыв, что квадрат даёт ноль и удовлетворяет неравенству
Неверно определили знак при перемножении, особенно из-за множителя (3-x) без вынесения минуса
Считали, что решение — только интервал, не учтя изолированную точку