Решение: Вычислите: lim_(x → 3) (3x² - 27)/(x - 3)
Решение по шагам
4 шагаПодставим $x = 3$ в числитель и знаменатель: $\frac{3 \cdot 3^2 - 27}{3 - 3} = \frac{27 - 27}{0} = \frac{0}{0}$ — неопределенность, необходимо преобразовать выражение.
Вынесем общий множитель в числителе: $3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x - 3)(x + 3)$.
Сократим общий множитель $(x - 3)$ в числителе и знаменателе (при $x \neq 3$): $\frac{3(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = 3(x + 3)$.
Теперь вычислим предел: $\lim_{x \to 3} 3(x + 3) = 3(3 + 3) = 3 \cdot 6 = 18$.
Где здесь ошибаются
Ошибочно подставляя $x=3$ напрямую без сокращения, получают неопределенность $\frac{0}{0}$ и считают предел равным 0 (вариант B).
Неправильно разлагая $3x^2 - 27$ как $3(x^2 - 3)$ или забывая множитель 3, получают $\lim_{x\to3} (x+3) = 6$ (вариант D).
Считают, что предел равен значению числителя в точке $x=3$, т.е. $27$, либо делят неправильно и получают $9$ (вариант C).