Решение: Дана рекуррентная формула последовательности: a₁=8, a₂=13 и aₙ₊₁=2aₙ-aₙ₋₁. Какая
Дана рекуррентная формула последовательности: $a_1=8$, $a_2=13$ и $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$.
Какая из следующих является $3^{rd}$, $4^{th}$ и $5^{th}$ членами последовательности?
Решение по шагам
5 шаговРекуррентная формула $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$ описывает линейную рекурренцию с постоянными коэффициентами. Её можно переписать как $a_{n+1}-a_n = a_n - a_{n-1}$, что означает, что разность соседних членов постоянна. То есть последовательность — арифметическая progression.
Первый член $a_1 = 8$, второй $a_2 = 13$. Тогда разность $d = a_2 - a_1 = 13 - 8 = 5$.
Тогда $a_3 = a_2 + d = 13 + 5 = 18$, $a_4 = a_3 + d = 18 + 5 = 23$, $a_5 = a_4 + d = 23 + 5 = 28$.
Третий, четвёртый и пятый члены: $18$, $23$, $28$.
Среди вариантов ответа: 18 — вариант B, 23 — вариант D, 28 — вариант C.
Где здесь ошибаются
Считали, что рекуррентность задаёт геометрическую прогрессию или квадратичную
Путаница с порядком членов: думали, что $a_3$ это второй член
Не проверили, что разность действительно постоянна из-за упрощения рекуррентности