Решение: Найдите сумму (x+y), где (x;y) — решение системы уравнений: $\begin{cases} x^2-5y^2 +4
Найдите сумму $(x+y)$, где $(x;y)$ — решение системы уравнений:
$\begin{cases} x^2-5y^2 +4=0, \\ \log_4x-\log_4y=0 \end{cases}$
Решение по шагам
4 шагаИз второго уравнения $\log_4 x - \log_4 y = 0$ следует, что $\log_4 \frac{x}{y} = 0$, поэтому $\frac{x}{y} = 4^0 = 1$, откуда $x = y$.
Подставляем $x = y$ в первое уравнение: $x^2 - 5x^2 + 4 = 0 \Rightarrow -4x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.
Из $x^2 = 1$ получаем $x = 1$ или $x = -1$. Однако логарифмы определены только для положительных аргументов, поэтому $x > 0$, $y > 0$ — подходит только $x = 1$, тогда $y = 1$.
Тогда $x + y = 1 + 1 = 2$.
Где здесь ошибаются
Забыли учесть область допустимых значений логарифма и взяли решение $x = y = -1$, что дало бы $x+y = -2$ (неверно).
Ошибочно решили $x^2 - 5y^2 + 4 = 0$ как $x^2 - 5y^2 = -4$ и подставили неправильно, получив дробные значения.
Путаница с вариантами: например, приняли $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$ за отличный от D, но он равен 2 и совпадает с D — однако в вариантах D уже указан как $2$, так что дублирование не меняет ответа.