Решение: Решите систему неравенств: $\begin{cases} \sqrt{4x-7} < x \\ \sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} > 4 \
Решите систему неравенств: $\begin{cases} \sqrt{4x-7} < x \\ \sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} > 4 \end{cases}$, и укажите количество целых решений системы неравенств
Решение по шагам
4 шагаОпределим область допустимых значений для каждого неравенства. Для первого: выражение под корнем должно быть неотрицательным → $4x-7 \ge 0$ → $x \ge \frac{7}{4}$. Также сам корень неотрицателен, поэтому правая часть должна быть положительной: $x > 0$ — но так как $x \ge 1.75$, это условие выполняется автоматически.
Возведём обе части первого неравенства в квадрат (оба члена неотрицательны): $\sqrt{4x-7} < x \implies 4x-7 < x^2 \implies x^2 - 4x + 7 > 0$. Дискриминант: $D = 16 - 28 = -12 < 0$, квадратичный трёхчлен всегда положителен → неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений. Следовательно, первое неравенство эквивалентно $x \ge \frac{7}{4}$.
Для второго неравенства: $\sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} > 4$. Область допустимых значений: $x+5 \ge 0$ и $5-x \ge 0$ → $-5 \le x \le 5$. Обозначим $a = \sqrt{x+5}$, $b = \sqrt{5-x}$, тогда $a^2 + b^2 = 10$, и нужно $a + b > 4$. Возведём в квадрат: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 10 + 2\sqrt{(x+5)(5-x)} > 16$ → $2\sqrt{25 - x^2} > 6$ → $\sqrt{25 - x^2} > 3$ → $25 - x^2 > 9$ → $x^2 < 16$ → $-4 < x < 4$.
Пересечём области: из первого неравенства $x \ge \frac{7}{4} = 1.75$, из второго $-4 < x < 4$. Итог: $1.75 \le x < 4$. Целые решения: $x = 2, 3$. Ответ — 2 целых числа.
Где здесь ошибаются
Забыли проверить область допустимых значений для первого неравенства и приняли решение $x^2 - 4x + 7 > 0$ за везде верное без условия $x \ge 1.75$
Неверно решили второе неравенство, например, получили $x^2 \le 16$ и включили конечные точки, но при $x = \pm4$ сумма корней равна 4, а нужно строго больше 4