Шешімі: Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \
Найдите значение выражения: $\left(\cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{12}\right) \cdot \left(\sin\frac{\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12}\right)$
Шешім по шагам
5 қадамПрименим формулы суммы-разности для косинусов и синусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2), sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2).
$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \quad \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$Пусть A = 5π/12, B = π/12. Тогда (A+B)/2 = (6π/12)/2 = π/4, (A-B)/2 = (4π/12)/2 = π/6.
$$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{4}, \quad \frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$$Подставляем в формулы: cos(5π/12)+cos(π/12) = 2 cos(π/4) cos(π/6), sin(π/12)-sin(5π/12) = 2 cos(π/4) sin(π/6).
$$\cos\frac{5\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}=2\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6},\quad \sin\frac{\pi}{12}-\sin\frac{5\pi}{12}=2\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$$Перемножаем: [2 cos(π/4) cos(π/6)] · [2 cos(π/4) sin(π/6)] = 4 cos²(π/4) cos(π/6) sin(π/6).
$$4\cos^2\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{6}\cdot\sin\frac{\pi}{6}$$Вычисляем известные значения: cos(π/4) = √2/2 → cos²(π/4) = 1/2; cos(π/6) = √3/2; sin(π/6) = 1/2. Тогда: 4 · (1/2) · (√3/2) · (1/2) = 4 · (√3/8) = √3/2. Но обратим внимание на знак: во втором факторе sin(π/12) - sin(5π/12) < 0, так как sin возрастает на [0, π/2] и 5π/12 > π/12 → разность отрицательна. Первый фактор положителен (сумма двух положительных косинусов). Значит, результат отрицательный → -√3/2.
$$4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{но знак: } \left(\cos\frac{5\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}\right)>0,\ \left(\sin\frac{\pi}{12}-\sin\frac{5\pi}{12}\right)<0 \Rightarrow \text{ответ }-\frac{\sqrt{3}}{2}$$Где здесь ошибаются
Забыли учесть знак во втором множителе и получили √3/2 (нұсқа D)
Ошиблись в формулах суммы-разности, например, использовали sin A - sin B = -2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2) без учета знака
Путаница с углами: приняли (A-B)/2 за π/12 вместо π/6