Решение: Решите систему уравнений: $\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1
Решите систему уравнений: $\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{9} \\ \log_5 10x - \log_5 y = 1 \end{cases}$
Решение по шагам
4 шагаУпростите первое уравнение, используя свойства степеней: $\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3x - y} = \frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$. Тогда $3x - y = 2$.
$$3x - y = 2$$Упростите второе уравнение, используя свойства логарифмов: $\log_5 10x - \log_5 y = \log_5 \left(\frac{10x}{y}\right) = 1$. Тогда $\frac{10x}{y} = 5^1 = 5$, откуда $10x = 5y$ или $y = 2x$.
$$y = 2x$$Подставьте $y = 2x$ в первое упрощённое уравнение: $3x - (2x) = 2 \Rightarrow x = 2$. Тогда $y = 2 \cdot 2 = 4$.
$$x = 2,\ y = 4$$Полученная пара $(x, y) = (2; 4)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы. Проверка: $\left(\frac{1}{3}\right)^{6} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}$; $\log_5 20 - \log_5 4 = \log_5 5 = 1$.
Где здесь ошибаются
Ошибка в упрощении показателя степени: неправильный знак при сложении показателей (например, $3x + y$ вместо $3x - y$).
Ошибка в логарифмическом уравнении: $\log_5 10x - \log_5 y = \log_5 (10x - y)$ вместо $\log_5 (\frac{10x}{y})$
Неправильный переход из логарифма: $\log_5 (\frac{10x}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{10x}{y} = 1$ вместо $5$