Решение: Теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 2cos x cos 5x-1
Решение по шагам
4 шагаПреобразуем правую часть: $2\cos x \cos 5x = \cos(5x+x) + \cos(5x-x) = \cos 6x + \cos 4x$. Уравнение становится $\cos 2x = \cos 6x + \cos 4x - 1$.
Переносим всё в левую часть: $\cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1 = 0$. Группируем: $(\cos 2x + 1) - (\cos 4x + \cos 6x) = 0$.
Применяем формулы: $\cos 2x + 1 = 2\cos^2 x$, $\cos 4x + \cos 6x = 2\cos 5x \cos x$. Получаем $2\cos^2 x - 2\cos 5x \cos x = 0 \Rightarrow 2\cos x (\cos x - \cos 5x) = 0$.
Решаем два случая: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $\cos x = \cos 5x \Rightarrow 5x = \pm x + 2\pi k$. Из $5x = x + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}k$; из $5x = -x + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}k$. Объединяя все решения и проверяя совпадения, получаем полное множество: $x = \pi n$ и $x = \frac{\pi}{3}n$.
Где здесь ошибаются
Неправильное применение формул преобразования произведения в сумму
Потеря решений при сокращении на $\cos x$ без учета случая $\cos x = 0$
Смешение периодов при объединении решений из разных ветвей