Решение: Решите уравнение: 6cos²x+5cos(π/2-x)=7
Решение по шагам
4 шагаСначала упростите $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ до $\sin x$ по формуле $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид $6\cos^2 x + 5\sin x = 7$.
Замените $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $6(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 7 \Rightarrow 6 - 6\sin^2 x + 5\sin x = 7 \Rightarrow -6\sin^2 x + 5\sin x - 1 = 0$.
Умножьте на $-1$: $6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$. Решите квадратное уравнение: $\sin x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}$, откуда $\sin x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ или $\sin x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Для $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$. Для $\sin x = \frac{1}{3}$: $x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{3} + \pi k$.
Где здесь ошибаются
Забыли замену $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$ и решили исходное уравнение неверно.
При решении квадратного уравнения ошиблись в знаках или дискриминанте, получив неверные корни для $\sin x$.
Неправильно записали общие решения для $\sin x = a$: использовали период $2\pi k$ вместо $\pi k$ или неверно чередовали знак через $(-1)^k$.