Решение: Объём введённого раствора
Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп $^{24}_{11}\mathrm{Na}$. Активность $1\ \mathrm{см^3}$ этого раствора равна $a_0 = 2000$ распадов в секунду. Период полураспада изотопа равен $T = 15{,}3\ \mathrm{ч}$. Через $t = 3\ \mathrm{ч}\ 50\ \mathrm{мин}$ активность $1\ \mathrm{см^3}$ крови пациента стала равна $a = 0{,}28$ распада в секунду. Общий объём крови пациента $V = 6\ \mathrm{л}$. Переходом ядер изотопа $^{24}_{11}\mathrm{Na}$ из крови в другие ткани организма пренебречь.
Определите объём введённого раствора и приведите подробное обоснование решения.
Решение по шагам
5 шаговПереведём объём крови в кубические сантиметры: $V=6\ \mathrm{л}=6000\ \mathrm{см^3}$.
Пусть $V_\text{р}$ — объём введённого раствора. Сразу после введения активность $1\ \mathrm{см^3}$ крови равна доле активности раствора, приходящейся на этот объём крови:
$$a(0)=a_0\frac{V_\text{р}}{V}$$За время $t$ активность уменьшается вследствие радиоактивного распада:
$$a=a_0\frac{V_\text{р}}{V}2^{-t/T}$$Выразим объём введённого раствора:
$$V_\text{р}=\frac{aV}{a_0}2^{t/T}$$Переведём время: $t=3\ \mathrm{ч}\ 50\ \mathrm{мин}=3{,}833\ \mathrm{ч}$. Подставим значения:
$$V_\text{р}=\frac{0{,}28\cdot6000}{2000}\cdot2^{3{,}833/15{,}3}\approx0{,}84\cdot1{,}19\approx1{,}0\ \mathrm{см^3}$$Объём введённого раствора примерно равен $1{,}0\ \mathrm{см^3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не переводят литры в кубические сантиметры.
Используют время $3{,}5$ часа вместо $3\ \mathrm{ч}\ 50\ \mathrm{мин}=3{,}833\ \mathrm{ч}$.
Учитывают уменьшение активности с обратным знаком и получают неверный множитель.
Не учитывают радиоактивный распад за время после введения раствора.