Шешімі: График изопроцесса газа
На рис. 1 приведена зависимость внутренней энергии $U$ 1 моль идеального одноатомного газа от его объёма $V$ в процессе $1\text{–}2\text{–}3$. Постройте график этого процесса в переменных $p\text{–}V$ ($p$ — давление газа). Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на рис. 2. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.
Шешімін қадамдап көрсету
6 қадамДля одного моля одноатомного идеального газа внутренняя энергия определяется формулой $U=\dfrac{3}{2}RT$. Из уравнения Менделеева–Клапейрона $pV=RT$ получаем связь давления с внутренней энергией и объёмом:
$$p=\dfrac{2U}{3V}$$На участке $1\text{–}2$ графика $U(V)$ внутренняя энергия постоянна, а объём увеличивается. Значит, температура постоянна и процесс является изотермическим.
$$U=\text{const},\quad T=\text{const},\quad pV=\text{const}$$Следовательно, на участке $1\text{–}2$ давление уменьшается обратно пропорционально объёму. В координатах $p\text{–}V$ этот участок является ветвью гиперболы, начинающейся в отмеченной точке 1.
По рисунку 1 для состояний 1 и 2 можно взять координаты $V_1=2$, $U_1=2$, $V_2=4$, $U_2=2$. Поэтому $p_2=p_1\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{p_1}{2}$. Точка 2 лежит правее точки 1 и вдвое ниже неё по давлению.
На участке $2\text{–}3$ внутренняя энергия возрастает пропорционально объёму: по рисунку $U_2/V_2=2/4$ и $U_3/V_3=4/8$. Поэтому отношение $U/V$ постоянно, а вместе с ним постоянно и давление.
$$\dfrac{U_2}{V_2}=\dfrac{U_3}{V_3}=\text{const},\quad p=\dfrac{2U}{3V}=\text{const}$$Таким образом, из точки 2 в точку 3 нужно провести горизонтальный отрезок вправо. Состояния 2 и 3 имеют одинаковое давление.
В координатах $p\text{–}V$ участок $1\text{–}2$ — ветвь гиперболы $pV=\text{const}$, так как $U$ и температура постоянны. Участок $2\text{–}3$ — горизонтальный отрезок, так как $U/V=\text{const}$ и, следовательно, $p=\dfrac{2U}{3V}=\text{const}$. Точка 2 расположена правее и ниже точки 1, а точка 3 — правее точки 2 на том же уровне давления.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать участок $1\text{–}2$ изобарным только потому, что на рисунке 1 внутренняя энергия постоянна.
Забыть, что при постоянной внутренней энергии постоянна температура, а не давление.
Провести участок $2\text{–}3$ наклонным вместо горизонтального.
Использовать зависимость $p\sim U$ без учёта деления на объём.