Решение: Скорость изображения груза
Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой $5\ \text{дптр}$. С помощью этой линзы получено чёткое изображение груза на экране, находящемся на расстоянии $0{,}5\ \text{м}$ от линзы. Максимальная скорость изображения равна $1\ \text{м/с}$. Определите максимальную скорость самого груза, считая груз материальной точкой.
Решение по шагам
4 шагаОптическая сила линзы связана с её фокусным расстоянием соотношением $D=\dfrac{1}{F}$. Поэтому
$$F=\frac{1}{D}=\frac{1}{5}=0{,}2\ \text{м}$$Расстояние от линзы до экрана является расстоянием до изображения: $f=0{,}5\ \text{м}$. По формуле тонкой линзы найдём расстояние от груза до линзы:
$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f},\qquad \frac{1}{d}=\frac{1}{0{,}2}-\frac{1}{0{,}5}=3\ \text{м}^{-1},\qquad d=\frac{1}{3}\ \text{м}$$Линейное увеличение собирающей линзы по модулю равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета:
$$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{0{,}5}{1/3}=1{,}5$$При малых поперечных перемещениях груза поперечное перемещение и скорость изображения увеличены в $\Gamma$ раз. Следовательно, максимальная скорость груза равна:
$$v_{\text{груза},\max}=\frac{v_{\text{изобр},\max}}{\Gamma}=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}\ \text{м/с}$$$v_{\text{груза},\max}=\dfrac{2}{3}\ \text{м/с}\approx0{,}67\ \text{м/с}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают оптическую силу с фокусным расстоянием и берут $F=5\ \text{м}$ вместо $F=0{,}2\ \text{м}$.
Используют расстояние до экрана как расстояние до предмета.
Умножают скорость изображения на увеличение вместо деления.