Решение: Характеристики астероидов
Рассмотрите таблицу, содержащую характеристики некоторых астероидов Солнечной системы. Эксцентриситет орбиты определяется по формуле $e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$, где $b$ — малая полуось, $a$ — большая полуось орбиты. При $e = 0$ орбита является окружностью, при $0 < e < 1$ — эллипсом.
| Название астероида | Примерный радиус астероида, км | Большая полуось орбиты, а.е. | Период обращения вокруг Солнца, земных лет | Эксцентриситет орбиты $e$ | Масса, кг |
|---|---|---|---|---|---|
| Веста | 265 | 2,36 | 3,63 | 0,089 | $3,0 \cdot 10^{20}$ |
| Эвномия | 136 | 2,65 | 4,30 | 0,185 | $8,3 \cdot 10^{18}$ |
| Церера | 466 | 2,78 | 4,60 | 0,079 | $8,7 \cdot 10^{20}$ |
| Паллада | 261 | 2,77 | 4,62 | 0,230 | $3,2 \cdot 10^{20}$ |
| Юнона | 123 | 2,68 | 4,36 | 0,256 | $2,8 \cdot 10^{19}$ |
| Геба | 100 | 2,42 | 3,78 | 0,202 | $1,4 \cdot 10^{19}$ |
| Аквитания | 54 | 2,79 | 4,53 | 0,238 | $1,1 \cdot 10^{18}$ |
Решение по шагам
5 шаговПроверим утверждение 1. Масса не возрастает монотонно с увеличением расстояния от Солнца: например, у Цереры большая полуось $2{,}78$ а.е. и масса $8{,}7 \cdot 10^{20}$ кг, а у Аквитании большая полуось $2{,}79$ а.е. и масса $1{,}1 \cdot 10^{18}$ кг. Утверждение неверно.
Для Гебы большая полуось орбиты равна $2{,}42$ а.е., поэтому она не движется по орбите Земли, расположенной примерно на расстоянии $1$ а.е. Утверждение 2 неверно.
Сравним эксцентриситеты: у Паллады $e = 0{,}230$, у Весты $e = 0{,}089$. Поэтому орбита Паллады более вытянута.
$$0{,}230 > 0{,}089$$Большая полуось орбиты Юноны равна $2{,}68$ а.е. Она больше расстояния до Марса и меньше расстояния до Юпитера, поэтому орбита Юноны находится между ними.
$$1{,}52 < 2{,}68 < 5{,}20$$Вторая космическая скорость на поверхности Цереры намного меньше земной, поскольку Церера имеет небольшую массу и радиус. Она составляет примерно $0{,}5$ км/с, а не более $11$ км/с.
$$v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} \approx 0{,}5\ \text{км/с}$$Где здесь ошибаются
Считать, что большая полуось орбиты напрямую определяет массу астероида.
Путать эксцентриситет с радиусом астероида.
Сравнивать орбиту Юноны с орбитой Земли вместо орбит Марса и Юпитера.
Использовать значение второй космической скорости Земли для Цереры.