Решение: Зависимость тока от индуктивности
К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с частотой $\nu$. Индуктивность $L$ катушки колебательного контура можно плавно менять от максимального значения $L_{\max}$ до минимального $L_{\min}$, а ёмкость его конденсатора постоянна. Ученик постепенно уменьшал индуктивность катушки от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре всё время возрастала. Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.
Решение по шагам
5 шаговАмплитуда напряжения источника постоянна, поэтому амплитуда тока определяется полным сопротивлением контура: чем меньше полное сопротивление, тем больше амплитуда тока.
$$I_m = \dfrac{U_m}{Z}$$Для последовательного контура полное сопротивление равно корню из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.
$$Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$$Резонанс возникает при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Соответствующее значение индуктивности определяется условием.
$$\omega L_0 = \dfrac{1}{\omega C},\qquad L_0 = \dfrac{1}{\omega^2 C} = \dfrac{1}{4\pi^2\nu^2 C}$$При уменьшении индуктивности от $L_{\max}$ до $L_{\min}$ амплитуда тока всё время возрастает, значит полное сопротивление всё время уменьшается. Это возможно, если значения $L$ находятся правее резонансного значения: при уменьшении $L$ они приближаются к $L_0$.
$$L_{\min} \geq L_0 = \dfrac{1}{4\pi^2\nu^2 C}$$Если бы интервал изменения индуктивности пересекал резонансное значение, амплитуда тока сначала возрастала бы, достигла максимума при $L=L_0$, а затем начала бы уменьшаться. Если бы весь интервал находился левее резонанса, при уменьшении $L$ ток уменьшался бы.
Амплитуда тока возрастает потому, что при уменьшении $L$ реактивное сопротивление контура уменьшается, а значения индуктивности приближаются к резонансному значению $L_0 = \dfrac{1}{4\pi^2\nu^2 C}$. Следовательно, весь диапазон изменения индуктивности расположен правее резонанса: $L_{\min} \geq L_0$. При дальнейшем уменьшении $L$ полное сопротивление уменьшается, поэтому при постоянной амплитуде напряжения амплитуда тока увеличивается.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Утверждать, что ток всегда возрастает при уменьшении индуктивности, не учитывая положение интервала относительно резонанса.
Забывать, что амплитуда тока обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.
Путать условие резонанса и записывать $\omega L = \omega C$ вместо $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$.
Не объяснять, почему при прохождении через резонанс амплитуда тока не могла бы возрастать монотонно.