Решение: Суммы чисел с одинаковыми цифрами
Решите задачу. а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим сумму цифр каждого слагаемого через $s$. По признаку делимости на 9 любое число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9.
$$a\equiv s\pmod 9,\quad b\equiv s\pmod 9$$Для пункта а) достаточно предъявить подходящее разложение:
$$2043=1089+954$$Суммы цифр слагаемых одинаковы:
$$1+0+8+9=18,\quad 9+5+4=18$$Следовательно, число 2043 можно представить требуемым образом; слагаемые различны.
Для пункта б) сумма цифр числа 599 равна $5+9+9=23$. Если сумма цифр обоих слагаемых равна $s$, то $2s\equiv23\pmod 9$, откуда $s\equiv7\pmod 9$. Возможны значения $s=7,16,25$.
$$2s\equiv23\equiv5\pmod 9,\quad s\equiv7\pmod 9$$При $s=7$ сумма цифр двух слагаемых была бы равна $14$, что меньше суммы цифр числа 599 на 9 и невозможно при сложении. При $s=16$ проверка возможных разбиений числа 599 показывает, что одно из слагаемых имеет сумму цифр 7, а не 16. Значение $s=25$ также невозможно: при сложении двух чисел, меньших 599, нельзя получить такую сумму цифр с необходимым количеством переносов. Поэтому требуемого представления нет.
Для пункта в) рассмотрим небольшие значения общей суммы цифр $s$. Семь наименьших различных натуральных чисел с суммой цифр 1 дают очень большую сумму. Для $s=2,3,4,5$ суммы семи наименьших чисел соответственно равны $1445,399,325,269$.
При $s=6$ семь наименьших различных чисел имеют вид $6,15,24,33,42,51,60$. Их сумма равна:
$$6+15+24+33+42+51+60=231$$При $s=7,8,9$ суммы семи наименьших чисел равны соответственно $238,245,252$, то есть больше 231. При больших значениях $s$ семь наименьших чисел также не дают меньшей суммы. Следовательно, минимальная сумма равна 231.
Проверим, что число 231 действительно имеет сумму цифр 6, как и каждое из слагаемых по модулю 9:
$$231\equiv6\pmod 9,\quad 7\cdot6=42\equiv6\pmod 9$$а) Да: $2043=1089+954$. б) Нет. в) $231=6+15+24+33+42+51+60$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только совпадение суммы цифр слагаемых по модулю 9, но не саму сумму цифр.
Не учитывают, что слагаемые в каждом представлении должны быть различными.
В пункте в) не доказывают, что найденная сумма является наименьшей.
Путают сумму самих чисел с суммой их цифр.