Решение: Кредит с ежегодным уменьшением долга
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70% меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 8085 тыс. рублей. Найдите $r$.
Решение по шагам
6 шаговТак как в июле 2029 и 2030 годов долг уменьшается на 70%, каждый раз остаётся 30% долга предыдущего июля. Поэтому суммы долга в июле составляют соответственно $6000$, $1800$, $540$ и $0$ тыс. рублей.
$$D_0=6000,\quad D_1=0{,}3D_0=1800,\quad D_2=0{,}3D_1=540,\quad D_3=0$$Обозначим коэффициент январского увеличения долга через $q=1+\dfrac{r}{100}$. Первый платёж равен долгу после увеличения за январь 2029 года минус долг, оставшийся к июлю 2029 года.
$$P_1=6000q-1800$$Аналогично выражаем второй и третий платежи.
$$P_2=1800q-540,\quad P_3=540q$$По условию сумма всех платежей равна 8085 тыс. рублей.
$$(6000q-1800)+(1800q-540)+540q=8085$$Решаем уравнение относительно $q$.
$$8340q-2340=8085,\quad 8340q=10425,\quad q=1{,}25$$Следовательно, январское увеличение долга составляет 25%.
$$1+\dfrac{r}{100}=1{,}25,\quad \dfrac{r}{100}=0{,}25,\quad r=25$$25%
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что после уменьшения на 70% остаётся 70% долга, а не 30%.
Не учитывать январское увеличение долга при вычислении платежей.
Сложить только суммы уменьшения долга и не включить начисленное увеличение.