Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{\log_4(16x^4)+11}{\log_4^2 x-9}\ge -1$.
Решение по шагам
7 шаговИз условий существования логарифмов получаем $x>0$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$\log_4^2 x-9\ne0$$Введём замену $t=\log_4 x$. Тогда $t\ne -3$ и $t\ne 3$, а числитель преобразуется следующим образом:
$$\log_4(16x^4)+11=\log_4 16+4\log_4x+11=2+4t+11=4t+13$$Перенесём $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4t+13}{t^2-9}+1\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{4t+13+t^2-9}{t^2-9}\ge0$$Разложим числитель и знаменатель на множители:
$$\frac{t^2+4t+4}{t^2-9}=\frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)}\ge0$$По методу интервалов, учитывая недопустимые точки $t=-3$ и $t=3$, получаем:
$$t\in(-\infty,-3)\cup\{-2\}\cup(3,+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$. Так как основание логарифма $4>1$, функция $4^t$ возрастает:
$$x\in(0,4^{-3})\cup\{4^{-2}\}\cup(4^3,+\infty)$$Вычисляем значения степеней:
$$x\in\left(0,\frac{1}{64}\right)\cup\left\{\frac{1}{16}\right\}\cup(64,+\infty)$$x\in\left(0,\frac{1}{64}\right)\cup\left\{\frac{1}{16}\right\}\cup(64,+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $x=\frac{1}{64}$ и $x=64$, при которых знаменатель равен нулю.
Забывают включить точку $x=\frac{1}{16}$, соответствующую нулю числителя.
Неверно учитывают монотонность логарифма при переходе от $t$ к $x$.