Решение: Кружки по истории и математике
В классе учится 18 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по истории, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по математике.
Минимальное число учеников, посещающих оба кружка, равно $|A \cap B| \geq 13 + 10 - 18 = 5$. Следовательно, таких учеников гарантированно найдётся хотя бы трое. Утверждение 2 верно.
$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 18 = 13 + 10 - 18 = 5$$Число учеников, посещающих оба кружка, не может превышать число учеников в меньшем кружке: $|A \cap B| \leq 10$. Поэтому 12 человек, посещающих оба кружка, быть не может. Утверждение 4 верно.
Утверждения 1 и 3 не следуют из условия: не все ученики обязаны посещать оба кружка, и посещение кружка по истории не означает обязательного посещения кружка по математике.
Где здесь ошибаются
Считать, что из условия следует обязательное посещение обоих кружков всеми учениками.
Забыть, что максимальное число участников обоих кружков не может превышать 10.
Найти минимальное число участников пересечения и ошибочно выбрать только утверждение 2.