Решение: Максимальный и минимальный путь
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 26$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде «вправо» Робот перемещается в соседнюю правую клетку; по команде «вниз» — в соседнюю нижнюю. При попытке пересечь границы квадрата Робот разрушается. Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.
Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю. Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N \times N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 4 |
| 10 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 12 | 2 |
| 2 | 3 | 5 | 6 |
Пример входных данных приведён в таблице. Для неё максимальная сумма равна 41, а минимальная — 27.
Решение по шагам
3 шагаРобот может прийти в клетку только из клетки сверху или из клетки слева. Поэтому для каждой клетки вычисляем максимальную и минимальную суммы, которые можно набрать при попадании в неё.
$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max(M_{i-1,j},M_{i,j-1}),\quad m_{i,j}=a_{i,j}+\min(m_{i-1,j},m_{i,j-1})$$В первой строке и первом столбце значение накапливается единственным возможным маршрутом. Затем таблицы заполняются слева направо и сверху вниз.
В правой нижней клетке таблиц находятся соответственно максимальная и минимальная суммы. Для приведённого примера эти значения равны 41 и 27.
Для приведённого примера: 41 27
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать монету в начальной или конечной клетке.
Перепутать порядок вывода: сначала требуется максимальная, затем минимальная сумма.
Использовать только один из возможных переходов, не сравнивая клетки сверху и слева.