Решение: Максимальная и минимальная сумма
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться только вправо или вниз. Между соседними клетками могут быть внутренние стены, сквозь которые Робот пройти не может. В каждой клетке лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету, включая начальную и конечную клетки маршрута. Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю. В приведённом примере внутренние стены отсутствуют.
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 4 |
| 10 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | 12 | 2 |
| 2 | 3 | 5 | 6 |
Решение по шагам
4 шагаЗаполняем таблицу максимальных сумм. В каждой клетке прибавляем стоимость монеты к большему из значений сверху и слева.
$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max(M_{i-1,j},M_{i,j-1})$$Для правой нижней клетки максимальная сумма получается равной $41$.
$$M_{4,4}=41$$Заполняем таблицу минимальных сумм. В каждой клетке прибавляем стоимость монеты к меньшему из значений сверху и слева.
$$m_{i,j}=a_{i,j}+\min(m_{i-1,j},m_{i,j-1})$$Для правой нижней клетки минимальная сумма равна $22$.
$$m_{4,4}=22$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают монеты в начальной или конечной клетке.
Путают порядок записи максимальной и минимальной суммы.
Для минимальной суммы выбирают больший из двух возможных промежуточных результатов.