Шешімі: Минимальное значение S
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 1 камень или увеличить количество камней в одной из куч в 3 раза.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 155. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 155 камней или больше.
В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче — $S$ камней; $1 \leq S \leq 139$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.
Шешім по шагам
5 қадамПетя может первым ходом увеличить вторую кучу в 3 раза. После этого получится позиция $(15, 3S)$.
При $S < 16$ даже утроение второй кучи Ваней не даёт нужной суммы: при $S = 15$ сумма равна $15 + 9 \cdot 15 = 150 < 155$.
Чтобы Ваня выиграл своим первым ходом, он утроит вторую кучу. Требуется $15 + 9S \geq 155$.
Решаем неравенство: $9S \geq 140$, значит $S \geq 15{,}56$. Минимальное целое значение $S$ равно $16$.
При $S = 16$ после хода Пети получаем $(15, 48)$, а после утроения второй кучи Ваней — $(15, 144)$, сумма равна $159$, поэтому Ваня выигрывает.
Где здесь ошибаются
Проверяют только утроение первой кучи после хода Пети.
Забывают, что Ваня может утроить ту же кучу, которую перед этим утроил Петя.
Ищут равенство 155 вместо условия суммы не менее 155.