Решение: Максимальная и минимальная сумма
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 30$). В каждой клетке лежит монета достоинством от 1 до 100. Робот начинает движение из левой верхней клетки и может перемещаться только вправо или вниз. Между соседними клетками могут быть внутренние стены, через которые Робот пройти не может. Посетив клетку, Робот забирает монету, в том числе в начальной и конечной клетках маршрута. В каждой клетке, которая ограничена стенами справа и снизу, движение заканчивается, а накопленная сумма считается итоговой. Определите максимальную и минимальную итоговые суммы среди всех возможных маршрутов.
Исходные данные находятся в прилагаемом файле: электронная таблица $N \times N$, в которой значения клеток и внутренние стены обозначены согласно условию. В ответе укажите два числа: сначала максимальную сумму, затем минимальную.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим через $M_{i,j}$ максимальную, а через $m_{i,j}$ минимальную сумму, которую можно получить при попадании в клетку $(i,j)$.
$$M_{1,1}=m_{1,1}=a_{1,1}$$Для каждой клетки рассматриваем только переходы из клетки сверху и из клетки слева, если между ними нет стены.
$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max M_{p,q},\qquad m_{i,j}=a_{i,j}+\min m_{p,q}$$Вычисляем значения по строкам сверху вниз и слева направо. Для клеток, в которые невозможно попасть, значение не задаём.
Среди клеток, ограниченных стенами справа и снизу, выбираем наибольшее значение $M_{i,j}$ и наименьшее значение $m_{i,j}$.
$$\max_{(i,j)\in F} M_{i,j},\qquad \min_{(i,j)\in F} m_{i,j}$$Числа зависят от данных в прилагаемой электронной таблице.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать монету в начальной или конечной клетке.
Проходить через внутреннюю стену.
Рассматривать только правую нижнюю клетку как конечную.
Искать минимум и максимум только среди маршрутов до правой нижней клетки.