Решение: Оптимальный маршрут робота
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде «вправо» Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде «вниз» — в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.
Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.
Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю. Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N \times N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.
Решение по шагам
3 шагаРобот движется только вправо и вниз, поэтому в каждую клетку он может попасть только сверху или слева.
$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max(M_{i-1,j},M_{i,j-1})$$Для минимальной суммы используется аналогичная рекуррентная формула с минимумом.
$$m_{i,j}=a_{i,j}+\min(m_{i-1,j},m_{i,j-1})$$После заполнения таблиц для приведённых данных в правой нижней клетке получаем максимальную сумму 41 и минимальную сумму 22.
$$M_{4,4}=41,\quad m_{4,4}=22$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать монету в начальной клетке.
Не учитывать монету в конечной клетке.
Перепутать порядок вывода максимальной и минимальной сумм.
Использовать только один из возможных маршрутов вместо сравнения всех допустимых маршрутов.