Решение: Восстановление таблицы истинности
Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = \neg(x \to z) \mathbin{\lor} (y \to w) \mathbin{\lor} \neg y$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$. Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.
| Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | $F$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 |
Запишите буквы $w$, $x$, $y$, $z$ в порядке соответствующих им столбцов: сначала букву для первого столбца, затем для второго и так далее. Буквы пишите подряд, без разделителей.
Решение по шагам
3 шагаПреобразуем отрицание импликации и импликацию $y \to w$: $\neg(x \to z) = x \mathbin{\land} \neg z$, $y \to w = \neg y \mathbin{\lor} w$.
$$\ F = (x \mathbin{\land} \neg z) \mathbin{\lor} \neg y \mathbin{\lor} w$$Чтобы значение функции было равно нулю, необходимо, чтобы все три дизъюнкта были ложны. Поэтому $y = 1$, $w = 0$, а $x \mathbin{\land} \neg z = 0$, то есть $x = 0$ или $z = 1$.
В первой строке значение 1 в первом столбце может быть значением $z$. Во второй строке значения 1 и 0 во втором и третьем столбцах соответствуют $x = 1$ и $w = 0$. В третьей строке 0 в первом столбце соответствует $z = 0$. Единственное согласованное распределение столбцов: первый — $z$, второй — $x$, третий — $w$, четвёртый — $y$.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают отрицание импликации: $\neg(x \to z)$ принимают за $\neg x \to \neg z$.
Забывают, что для нулевого значения дизъюнкции каждый её член должен быть равен нулю.
Записывают переменные не в порядке столбцов или добавляют разделители.