Решение: Черепаха и объединение фигур
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии.
Команды исполнителя: «Поднять хвост» — переход к перемещению без рисования; «Опустить хвост» — переход в режим рисования; «Вперёд n» — перемещение на $n$ единиц в направлении головы; «Назад n» — перемещение на $n$ единиц в противоположном направлении; «Направо m» и «Налево m» — поворот на $m$ градусов по часовой стрелке или против неё. Запись «Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS]» означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 2 [Вперёд 14 Направо 90 Вперёд 18 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 12 Направо 90 Вперёд 7 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Решение по шагам
4 шагаПервый цикл рисует прямоугольник: Черепаха проходит отрезки длиной $14$ и $18$ по направлениям вверх, вправо, вниз и влево. Его границы имеют координаты $0\leqslant x\leqslant18$ и $0\leqslant y\leqslant14$.
$$N_1=(18-0+1)(14-0+1)=19\cdot15=285$$После поднятия хвоста Черепаха перемещается в точку $(7,12)$ и поворачивает голову вверх. Второй цикл рисует прямоугольник с границами $7\leqslant x\leqslant14$ и $12\leqslant y\leqslant22$.
$$N_2=(14-7+1)(22-12+1)=8\cdot11=88$$Прямоугольники пересекаются при $7\leqslant x\leqslant14$ и $12\leqslant y\leqslant14$.
$$N_{\text{пересечение}}=8\cdot3=24$$По формуле включений и исключений складываем число точек в прямоугольниках и вычитаем точки их пересечения.
$$N=285+88-24=349$$Где здесь ошибаются
Не учитывать точки на границах прямоугольников.
Сложить количество точек в двух прямоугольниках без вычитания точек пересечения.
Учесть перемещения с поднятым хвостом как нарисованные линии.