Стратегии в игре с числами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с парой неотрицательных целых чисел. Первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Игра завершается, когда сумма чисел пары становится не менее 65. Побеждает игрок, сделавший последний ход.
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел $(14, S)$. Укажите минимальное значение $S$, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции $(15, 12)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции $(4, 8)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22, 20) или Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальной позиции (20, 23) и заданной сумме 65 выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно заменить на сумму меньшее число пары
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел (14, S). Укажите минимальное значение S, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции (15, 12) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции (4, 8) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание.
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
После замены числа $a$ на сумму пары $(a+b,b)$ сумма становится $2a+b$, а после замены числа $b$ — $a+2b$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для задания 2 рассмотрите обе возможные позиции после первого хода Пети и проверьте, может ли Ваня завершить игру следующим ходом.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для задания 3 после каждого возможного хода соперника укажите единственный ход выигрывающего игрока или один из подходящих ходов. Для позиции $(4,8)$ выигрывает Ваня: после $(12,8)$ он выбирает $(12,20)$, а после $(4,12)$ — $(16,12)$.