Шешімі: Стратегии в игре с числами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с парой неотрицательных целых чисел. Первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Игра завершается, когда сумма чисел пары становится не менее 65. Побеждает игрок, сделавший последний ход.
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел $(14, S)$. Укажите минимальное значение $S$, такое, что Петя может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции $(15, 12)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции $(4, 8)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии.
Шешім по шагам
8 қадамЗадание 1. Из позиции $(14,S)$ можно получить либо $(14+S,S)$ с суммой $14+2S$, либо $(14,14+S)$ с суммой $28+S$.
$$14+2S\ge 65 \quad\text{или}\quad 28+S\ge 65$$Первое неравенство даёт $S\ge 25{,}5$, поэтому при целом $S$ получаем $S\ge 26$. Второе даёт $S\ge 37$. Минимальное подходящее значение — $S=26$; Петя получает позицию $(40,26)$ с суммой 66.
$$14+2\cdot 26=66$$Задание 2. Из позиции $(15,12)$ Петя может получить либо $(27,12)$, либо $(15,27)$. В первом случае Ваня заменяет 12 на сумму и получает $(27,39)$, сумма равна 66. Во втором случае Ваня заменяет 15 на сумму и получает $(42,27)$, сумма равна 69.
$$27+39=66,\qquad 42+27=69$$Следовательно, при любом первом ходе Пети Ваня выигрывает следующим ходом. Выигрышная стратегия Вани: если Петя получает $(27,12)$, заменить 12 на сумму; если Петя получает $(15,27)$, заменить 15 на сумму.
Задание 3. Рассмотрим первый ход Пети из позиции $(4,8)$. Он может получить $(12,8)$ или $(4,12)$. Ваня отвечает соответственно ходом в $(12,20)$ или в $(16,12)$.
Если после $(12,8)$ Ваня получает $(12,20)$, Петя может перейти в $(32,20)$ или $(12,32)$. В первом случае Ваня получает $(52,20)$, сумма 72; во втором — $(12,44)$, сумма 56, после чего Ваня получает $(44,44)$, сумма 88.
$$32+20=52,\quad 52+20=72;\qquad 12+32=44,\quad 12+44=56,\quad 44+44=88$$Если после $(4,12)$ Ваня получает $(16,12)$, Петя может перейти в $(28,12)$ или $(16,28)$. В первом случае Ваня получает $(28,40)$, сумма 68; во втором — $(44,28)$, сумма 72.
$$28+40=68,\qquad 44+28=72$$Дерево партий при выигрышной стратегии Вани: $(4,8)\to(12,8)\to(12,20)\to(32,20)\to(52,20)$; $(4,8)\to(12,8)\to(12,20)\to(12,32)\to(12,44)\to(44,44)$; $(4,8)\to(4,12)\to(16,12)\to(28,12)\to(28,40)$; $(4,8)\to(4,12)\to(16,12)\to(16,28)\to(44,28)$.
1) Минимальное значение $S=26$. 2) Выигрышная стратегия есть у Вани: после $(27,12)$ получить $(27,39)$, а после $(15,27)$ — $(42,27)$. 3) Выигрышная стратегия есть у Вани. Его ходы: $(12,8)\to(12,20)$ и $(4,12)\to(16,12)$; далее он завершает игру после любого хода Пети по указанному дереву.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
При вычислении новой суммы забывают, что одно число заменяется суммой обоих чисел.
В задании 2 рассматривают только один из двух возможных ходов Пети.
В дерево тапсырмалар 3 включают партии, которые невозможны при использовании выигрышной стратегии Вани.
Путают игрока, который первым получает сумму не менее 65, с игроком, сделавшим предыдущий ход.