Игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему выбору один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 59 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 53.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 59 или больше камней. В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 53.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна. | |||
| |
Формат: число или слово без единиц измерения; дробную часть отделяйте запятой.
1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите ходы Пети, которые не приводят к сумме 59, и проверьте, может ли Ваня завершить игру одним ходом.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для получения минимального S выгодно удвоить вторую кучу: после хода Пети получаются кучи 5 и $2S$, а Ваня может снова удвоить вторую кучу.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Должно выполняться $5 + 4S \geq 59$. Отсюда $S \geq 13{,}5$, поэтому минимальное целое значение — $S = 14$.