Решение: Максимальная и минимальная сумма
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 30$). В каждой клетке лежит монета достоинством от 1 до 100. Исполнитель Робот начинает движение из левой верхней клетки и может за одно перемещение перейти только в соседнюю клетку справа или вниз. Между соседними клетками могут находиться стены, через которые Робот пройти не может. Посетив клетку, Робот забирает монету, в том числе в начальной и конечной клетках маршрута. В клетке, которая справа и снизу ограничена стенами, движение заканчивается, а накопленная сумма считается итоговой. Определите максимальную и минимальную денежные суммы среди всех возможных маршрутов.
Для приведённого примера входных данных используется поле $4 \times 4$ без внутренних стен.
Решение по шагам
5 шаговЗаполняем таблицу максимальных сумм. В каждой клетке берём максимум из достижимых соседних клеток сверху и слева и прибавляем стоимость монеты.
$$M_{i,j}=a_{i,j}+\max(M_{i-1,j},M_{i,j-1})$$Для примера максимальные суммы по строкам имеют вид: $1, 9, 17, 21$; $11, 20, 21, 24$; $12, 23, 33, 35$; $14, 26, 38, 44$.
Аналогично заполняем таблицу минимальных сумм, выбирая минимум из достижимых соседей.
$$m_{i,j}=a_{i,j}+\min(m_{i-1,j},m_{i,j-1})$$Минимальные суммы по строкам: $1, 9, 17, 21$; $11, 10, 11, 14$; $12, 13, 23, 16$; $14, 16, 21, 27$.
В правой нижней клетке получаем максимальную сумму $44$ и минимальную сумму $27$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают монету в начальной клетке.
Не учитывают монету в конечной клетке.
Путают порядок: сначала нужно записать максимальную, затем минимальную сумму.
Используют только один из вариантов перехода и не сравнивают пути сверху и слева.