Решение: Максимальная и минимальная сумма
Квадрат разлинован на $N \times N$ клеток ($1 < N < 30$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде «вправо» Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде «вниз» — в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.
Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.
В «угловых» клетках поля — тех, которые справа и снизу ограничены стенами, — Робот не может продолжать движение, поэтому накопленная сумма считается итоговой. Таких конечных клеток на поле может быть несколько, включая правую нижнюю клетку поля. При разных запусках итоговые накопленные суммы могут различаться.
Определите максимальную и минимальную денежные суммы среди всех возможных итоговых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в конечную клетку маршрута. Исходные данные находятся в прилагаемом файле электронной таблицы размером $N \times N$: каждая ячейка соответствует клетке квадрата, а внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.
Решение по шагам
4 шагаСчитаем для каждой клетки две величины: максимальную и минимальную сумму монет на пути из левой верхней клетки в эту клетку. Начальная клетка получает значение, равное номиналу монеты в ней.
$$M_{1,1}=m_{1,1},\quad L_{1,1}=m_{1,1}$$Для каждой клетки рассматриваем только те клетки, из которых в неё можно перейти: верхнюю, если между клетками нет горизонтальной стены, и левую, если между клетками нет вертикальной стены.
$$M_{i,j}=m_{i,j}+\max\limits_{(k,l)\to(i,j)} M_{k,l},\quad L_{i,j}=m_{i,j}+\min\limits_{(k,l)\to(i,j)} L_{k,l}$$Для всех клеток, ограниченных стенами справа и снизу, сравниваем рассчитанные значения. Максимальный итог — наибольшее значение $M$, минимальный итог — наименьшее значение $L$.
Числовой ответ нельзя вычислить по представленному условию: содержимое прилагаемой электронной таблицы с реальными номиналами монет и стенами отсутствует. Приведённая в условии таблица является только примером входных данных.
Недостаточно данных для определения двух чисел: отсутствует файл с исходной таблицей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать монету в начальной или конечной клетке.
Разрешать переход через внутреннюю стену.
Рассматривать только правую нижнюю клетку и игнорировать другие конечные клетки.
Искать максимум и минимум только среди маршрутов одинаковой длины.