Решение: Выигрышная стратегия в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, где $1 \leq S \leq 66$. Укажите такое значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Решение по шагам
4 шагаПетя не должен иметь возможности выиграть первым ходом. Поэтому должны выполняться неравенства $S+4<67$ и $3S<67$, откуда $S\leq 22$.
Проверим значение $S=22$. После хода Пети количество камней может стать равным $23$, $26$ или $66$.
Из позиции $23$ Ваня получает $69$ камней ходом умножения на 3; из позиции $26$ получает $78$ камней тем же ходом; из позиции $66$ получает $67$ камней, добавив один камень.
Следовательно, при любом первом ходе Пети Ваня выигрывает своим первым ходом, а Петя сам не может выиграть сразу.
Где здесь ошибаются
Проверяют только ход умножения на 3 и не учитывают добавление 1 или 4 камней.
Забывают, что победа наступает при количестве камней не менее 67.
Выбирают значение, при котором Петя уже может выиграть первым ходом.