Решение: Подсчёт наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_8$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям?
$$(x_i \land y_j \to x_i \land y_{j+1}) \land (x_i \land y_j \to x_{i+1} \land y_j)=1$$
для всех натуральных $i$ и $j$, таких, что $i<6$ и $j<8$.
Это означает, что если $x_i=1$ и $y_j=1$, то одновременно должны выполняться условия $x_{i+1}=1$ и $y_{j+1}=1$.
Решение по шагам
6 шаговЕсли среди $y_1,\ldots,y_7$ есть хотя бы одна единица, то при наличии единицы среди $x_1,\ldots,x_5$ все значения $x$ от первой такой единицы до $x_6$ должны быть равны единице. Если же среди $x_1,\ldots,x_5$ есть единица, то аналогичное правило действует для последовательности $y$.
Случай 1: в обеих группах есть единицы — среди $x_1,\ldots,x_5$ и среди $y_1,\ldots,y_7$. Последовательность $x$ имеет 5 вариантов расположения первой единицы, а последовательность $y$ — 7 вариантов. Получаем $5\cdot7=35$ наборов.
Случай 2: среди $y_1,\ldots,y_7$ есть единица, а $x_1=\cdots=x_5=0$. Значение $x_6$ выбирается 2 способами. Ненулевая последовательность первых семи значений $y$ имеет $2^7-1=127$ вариантов, а $y_8$ — 2 варианта. Получаем $2\cdot127\cdot2=254$ набора.
Случай 3: $y_1=\cdots=y_7=0$, а среди $x_1,\ldots,x_5$ есть единица. Последовательность $x$ имеет 5 вариантов, а $y_8$ выбирается 2 способами. Получаем $5\cdot2=10$ наборов.
Случай 4: $x_1=\cdots=x_5=0$ и $y_1=\cdots=y_7=0$. Значения $x_6$ и $y_8$ выбираются независимо, поэтому получаем $2\cdot2=4$ набора.
Складываем результаты всех непересекающихся случаев.
$$35+254+10+4=303$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать свободный выбор значений $x_6$ или $y_8$, когда соответствующая цепочка условий не активируется.
Считать последовательности с первой единицей как произвольные, хотя после первой единицы все последующие значения должны быть равны единице.
Сложить случаи с пересечениями вместо разбиения на четыре непересекающихся случая.