Решение: Подсчёт точек в объединении фигур
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии.
Команды «Поднять хвост» и «Опустить хвост» переключают режим рисования. Команда «Вперёд n» перемещает Черепаху на $n$ единиц в направлении головы, «Назад n» — в противоположном направлении, «Направо m» и «Налево m» изменяют направление движения на $m$ градусов по часовой стрелке и против часовой стрелки соответственно. Запись «Повтори k [Команда1 Команда2 … Команда S]» означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.
Черепахе был дан алгоритм:
«Повтори 2 [Вперёд 8 Направо 90 Вперёд 18 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 10 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 17 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]».
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Решение по шагам
4 шагаПервая последовательность команд рисует прямоугольник с координатами $0 \leqslant x \leqslant 18$, $0 \leqslant y \leqslant 8$. Число целочисленных точек в нём:
$$(18+1)(8+1)=19\cdot9=171$$После поднятия хвоста Черепаха перемещается в точку $(10,4)$ и поворачивается вверх. Вторая последовательность рисует прямоугольник с координатами $10 \leqslant x \leqslant 17$, $4 \leqslant y \leqslant 21$. Число целочисленных точек в нём:
$$(17-10+1)(21-4+1)=8\cdot18=144$$Пересечение прямоугольников задаётся неравенствами $10 \leqslant x \leqslant 17$ и $4 \leqslant y \leqslant 8$. Число точек пересечения:
$$8\cdot5=40$$По формуле включений и исключений найдём число точек в объединении:
$$171+144-40=275$$Где здесь ошибаются
Не учитывать точки на границах прямоугольников.
Сложить количество точек в двух прямоугольниках, не вычитая точки пересечения.
Посчитать длины сторон вместо количества целочисленных координатных точек.