Шешімі: Стратегии в игре с парами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из чисел пары по своему выбору на сумму обоих чисел. Например, из позиции $(7, 20)$ можно получить позицию $(27, 20)$ или $(7, 27)$.
Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший пару, сумма чисел которой стала не менее 29.
Игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая может встретиться при различной игре противника.
Например, при начальной позиции $(5, 15)$ и заданной сумме 29 выигрышная стратегия есть у Пети: ему достаточно заменить первое число пары на сумму обоих чисел и получить позицию $(20, 15)$.
Задание 1. Перед ходом Пети на табличке записана пара чисел $(10, S)$. Укажите максимальное значение $S$, такое, что Петя не может выиграть одним своим ходом.
Задание 2. Для начальной позиции $(5, 8)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию.
Задание 3. Для начальной позиции $(2, 3)$ укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной вами выигрышной стратегии. В узлах дерева указывайте позиции. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии.
Шешім по шагам
8 қадамВ задании 1 из позиции $(10,S)$ Петя может получить позиции $(10+S,S)$ и $(10,10+S)$. Их суммы равны $10+2S$ и $20+S$ соответственно. Чтобы Петя не мог выиграть одним ходом, обе суммы должны быть меньше 29.
$$10+2S<29,\quad 20+S<29$$Из второго неравенства получаем $S<9$, поэтому максимальное целое значение $S$ равно 8. При $S=8$ после ходов получаются суммы 26 и 28, то есть выиграть одним ходом нельзя.
$$S_{\max}=8$$В задании 2 из позиции $(5,8)$ Петя может перейти в $(13,8)$ или $(5,13)$. В обоих случаях Ваня выигрывает следующим ходом.
$$(13,8)\to(21,8),\quad (5,13)\to(18,13)$$После перехода $(5,8)\to(13,8)$ Ваня заменяет второе число на сумму и получает $(13,21)$ с суммой 34. После перехода $(5,8)\to(5,13)$ Ваня заменяет первое число на сумму и получает $(18,13)$ с суммой 31. Следовательно, выигрышная стратегия есть у Вани.
В задании 3 после первого хода Пети возможны позиции $(5,3)$ и $(2,5)$. Ваня отвечает соответственно переходом $(5,3)\to(5,8)$ или $(2,5)\to(7,5)$.
Если после позиции $(5,8)$ Петя получает $(13,8)$, Ваня переходит в $(13,21)$ или $(21,8)$; в обоих случаях сумма не менее 29. Если Петя получает $(5,13)$, Ваня переходит в $(18,13)$ или $(5,18)$; также получается сумма не менее 29.
Если после позиции $(7,5)$ Петя получает $(12,5)$, Ваня заменяет второе число и получает $(12,17)$ с суммой 29. Если Петя получает $(7,12)$, Ваня заменяет первое число и получает $(19,12)$ с суммой 31.
Таким образом, при начальной позиции $(2,3)$ выигрышная стратегия есть у Вани. Дерево партий при его стратегии: $(2,3)\to(5,3)\to(5,8)$ или $(2,3)\to(2,5)\to(7,5)$; далее Ваня во всех ветвях делает ход, сразу завершающий игру.
1) $S=8$. 2) Выигрывает Ваня: после $(5,8)\to(13,8)$ он получает $(13,21)$, а после $(5,8)\to(5,13)$ — $(18,13)$. 3) При позиции $(2,3)$ выигрывает Ваня. Его стратегия: $(5,3)\to(5,8)$ и $(2,5)\to(7,5)$; далее он отвечает так, чтобы получить сумму не менее 29.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один из двух возможных ходов из позиции.
Считают выигрышной позицию, из которой можно получить сумму 29 или больше не текущим ходом, а через ход соперника.
В задании 3 строят полное дерево игры, включая ветви, которые не возникают при использовании выигрышной стратегии Вани.
В позиции $(12,5)$ выбирают переход в $(17,5)$, который не завершает игру; правильный ход — в $(12,17)$.