Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 15 Января

Центральный угол на $\mathrm{44°}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(-11;-18)$ и $\overrightarrow{b}(-28;-27)$.

Основание треугольной призмы объёмом $67$ пересекается плоскостью, параллельной одному из боковых рёбер и проходящей через среднюю линию треугольника. Найдите объём отсечённой трапециевидной призмы.

В метро 22 места, из которых 11 мест - неудобные места у стойки и вблизи вентилятора. Найдите вероятность того, что при случайном выборе пассажиру в метро достанутся неудобные места.

На выставке в музее ожидается поток посетителей. Вероятность того, что за день придет больше 23 посетителей, равна 0.68. Вероятность того, что придет больше 12 посетителей, равна 0.62. Найдите вероятность того, что количество посетителей будет от 13 до 23.

Найдите корень уравнения ${(x-9)}^2=9$. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший корень.

Вычислите результат для $-4\cdot \frac{\sin (79°)\cdot \sin (11°)}{\sin (158°)}$

На рисунке показан график функции y = $\mathrm{m(x)}$. Отметьте точку на оси абсцисс, где значение производной функции наибольшее среди точек -3, 0, 2, 3, 5.

Катер на реке, двигаясь со скоростью 13.5 м/с, начал замедляться с ускорением 1.8 м/с². За t секунд после начала замедления он прошел 45 метров. Используйте формулу $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$ для нахождения пути. Сколько времени заняло торможение?

Лодка прошла против течения реки на 189 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 18 часов меньше. Определите скорость лодки, если скорость течения равна 4 км/ч.

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Найдите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=1$.

Найдите максимум функции $2\cdot \sqrt{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{8}{\pi }\cdot x-12$ на интервале $[\frac{3\cdot \pi }{4}-8\cdot \pi ;\frac{3\cdot \pi }{4}+8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin \left(x\right)+2\cdot \cos (60°)\cdot {\cos }^2\left(x\right)+(3\cdot \sin (\frac{x}{3})-4\cdot {\sin }^3(\frac{x}{3}\left)\right)\cdot (1-2\cdot {\sin }^2(x\left)\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{17\cdot \pi }{6};\frac{25\cdot \pi }{6}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=6$ см, ${\mathrm{CC}}_1=6\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{24}^x-3^{x+1}-8^{x+1}+24}{x^2+10\cdot x+24}$\ge 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{60°}$, $B_1{C}_1=5$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 7 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-64\cdot x^2+25\cdot a^2}=x^2+8\cdot x-5\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 1891?
2) Может ли сумма быть равна 1301?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 4-значных исходных чисел?