Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 11 Марта

Центральный угол на $\mathrm{27°}$ больше угла, вписанного в ту же дугу окружности. Найдите этот вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $-2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$, если даны координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Объем шара равен $47$. Он вписан в цилиндр. Каков объем цилиндра?

В соревнованиях по скалолазанию участвуют 142 спортсменок, включая 35 из Канады, 36 из Южной Кореи, и остальные спортсменки из Белиза. Порядок выступления спортсменок определяется случайным образом. Определите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой будет из Белиза.

Автомеханики предупреждают, что вероятность того, что температура двигателя автомобиля при движении опустится ниже чем 105.4℃, равна 0.93. Какова вероятность того, что температура двигателя окажется выше 105.4℃?

Определите значение x для уравнения: $\sqrt{7\cdot x+8}=15$.

Определите значение выражения $-5\cdot \frac{\sin (21°)\cdot \sin (69°)}{\sin (138°)}$

На графике показана функция y = $\mathrm{p(x)}$. Найдите количество точек среди  x₀, x₁, в которых значение производной функции отрицательно.

Фары автомобиля используют линзу с фокусным расстоянием 24 см для проецирования светового пятна на дорогу в условиях тумана. Расстояние от лампы до линзы можно изменять в пределах от 10 см до 70 см, а расстояние от линзы до дорожного покрытия — от 150 см до 168 см. Чтобы световое пятно на дороге было четким, необходимо выполнение формулы $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. При каком минимальном расстоянии от линзы световое пятно будет четким? Ответ дайте в сантиметрах.

Орел летел против ветра на 1680 км, а затем вернулся обратно, затратив на обратный путь на 14 часов меньше. Определите скорость орла, если скорость ветра равна 2 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Определите значение функции $f\left(8\right)$.

Найдите максимум функции $10\cdot \sin \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x-14$ на интервале $[\frac{\pi }{6}-2\cdot \pi ;2\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \sin \left(x\right)+(1-2\cdot {\cos }^2(\frac{x}{2}\left)\right)\cdot \sqrt{3}=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{22\cdot \pi }{3};9\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=13$ см, ${\mathrm{CC}}_1=13\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{2^x-1^{x+1}-2^{x+1}+2}{x^2+10\cdot x+21}$\le 0$.

Заемщик берет в кредит целое число миллионов рублей на 6 лет. Каждый год долг возрастает на 50%. В 1, 2, 3, 4 годах выплачиваются только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Определите наибольшую сумму кредита, чтобы общая выплата была меньше 27 млн рублей.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Найдите длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{120°}$, $B_1{C}_1=4$, а площадь $A_1{B}_1{C}_1$ в 9 раз меньше площади $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$14\cdot x>x^2+a^2$ $x+a>=23$ $9\cdot a>=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[7;20]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 1379?
2) Может ли сумма быть равна 20?
3) Какое самое маленькое значение может принимать целое S для 3-значных исходных чисел?