Постоянный ток: схемы и правила

Основные понятия

Ток - направленное движение заряженных частиц (обычно электронов в металлах или ионов в электролитах) через поперечное сечение проводника.

Сила тока - физическая величина, характеризующая количество заряда, проходящего через поперечное сечение проводника в единицу времени. Для количественного описания часто используют соотношение $I=\dfrac{dQ}{dt}$.

Напряжение - разность потенциалов между двумя точками цепи, создающая условие для протекания тока. Напряжение часто обозначают буквой V и связывают с силой тока и сопротивлением через закон Ома $V=IR$.

В практической работе с цепями постоянного тока важно корректно представлять схему: источники ЭДС, резисторы, переключатели и приборы для измерений. Схема задаёт топологию соединений и позволяет применять правила для расчёта токов и напряжений.

Закон Ома и его формулировки

Закон Ома для участка цепи даёт прямую связь между напряжением на участке, силой тока через него и сопротивлением. В общем виде его записывают как $V=IR$. Эта формула применима к однородному участку цепи при неизменной температуре и линейной зависимости тока от напряжения.

При решении задач иногда удобнее использовать форму закона Ома для полной цепи: если через последовательно соединённые сопротивления идёт один и тот же ток, то суммарное напряжение равно сумме падений напряжений на каждом сопротивлении, что математически получается из закона Ома и правил Кирхгофа.

Сопротивление - физическая величина, характеризующая способность проводника ограничивать прохождение электрического тока; для однородного проводника она связана с удельным сопротивлением по формуле $R=\rho\dfrac{\ell}{A}$.

Правила Кирхгофа

Для расчёта сложных цепей постоянного тока используют два закона Кирхгофа. Первый, правило узлов (токов), формулируется так: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю; это записывается как $\sum_k I_k=0$. Оно основано на законе сохранения заряда.

Второй закон, правило контуров (напряжений), гласит: алгебраическая сумма падений напряжений и электродвижущих сил (ЭДС) в любом замкнутом контуре равна нулю; формула записывается как $\sum_k \Delta V_k=0$. При применении этого правила следует внимательно относиться к знакам падений напряжения и направлению обхода контура.

Практический порядок применения правил: 1) на схеме отмечают направления токов (произвольно), 2) выписывают уравнения по узлам для неизвестных токов, 3) выписывают уравнения по контурам для неизвестных напряжений и ЭДС, 4) решают систему уравнений. Выбор направления тока влияет только на знак результата — отрицательное значение указывает на направление, противоположное выбранному.

Последовательное и параллельное соединение резисторов

При последовательном соединении сопротивления складываются. Эквивалентное сопротивление цепи из n последовательно соединённых резисторов вычисляется по формуле $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\dots+R_n$. Это означает, что через все резисторы идёт одинаковый ток, а падение напряжения на каждом резисторе складывается, давая общее напряжение.

При параллельном соединении на всех ответвлениях напряжение одинаково, а суммарный ток равен сумме токов по каждому ответвлению. Для эквивалентного сопротивления при параллельном соединении выполняется соотношение $\dfrac{1}{R_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dots+\dfrac{1}{R_n}$. Для двух резисторов часто используют упрощённую формулу $R_{\text{eq}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

Пример (схема с двумя резисторами в параллели): если известны R1 и R2, то эквивалентное сопротивление рассчитывают по формуле $R_{\text{eq}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$, после чего по закону Ома $V=IR$ находят ток всей ветви.

Делители напряжения и тока

Последовательный делитель напряжения — простая и распространённая схема, где часть входного напряжения снимается с одного из последовательных резисторов. Выражают выходное напряжение через общее напряжение и сопротивления: $V_{\text{out}}=V_{\text{in}}\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$.

Для параллельных ветвей справедливо правило делителя тока: при двух параллельных сопротивлениях ток через одно из них можно найти по соотношению $I_1=I_{\text{tot}}\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$. Эти формулы особенно полезны при анализе узлов и при проектировании схем с нагрузками.

Пример (делитель напряжения): на вход последовательно поданы R1 и R2, входное напряжение равно некоторой величине V_in, тогда напряжение на R2 находится через $V_{\text{out}}=V_{\text{in}}\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ и далее по закону Ома $V=IR$ можно определить ток через R2.

Электродвижущая сила (ЭДС) и внутреннее сопротивление источника

ЭДС - работа внешних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника (аккумулятора, батареи), часто обозначается буквой \mathcal{E} и учитывается при анализе цепей со встроенным источником.

Реальные источники напряжения имеют внутреннее сопротивление r. Напряжение на клеммах (терминальное напряжение) зависит от тока и выражается как $V_{\text{term}}=\mathcal{E}-Ir$. Это уравнение показывает, что при увеличении нагрузки (тока) терминальное напряжение уменьшается из-за падения напряжения на внутреннем сопротивлении.

Применение второго закона Кирхгофа к контуру с источником и внешним сопротивлением R даёт уравнение $\mathcal{E}-I(R+r)=0$. Решив его относительно тока, получаем выражение для тока в цепи: $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$.

Пример (источник с внутренним сопротивлением): пусть известны \mathcal{E}, r и R. Используя уравнение $\mathcal{E}-I(R+r)=0$ и выражение $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, определяют силу тока в цепи, а затем по закону Ома $V=IR$ вычисляют падение напряжения на каждом сопротивлении и терминальное напряжение $V_{\text{term}}=\mathcal{E}-Ir$.

Мощность и её вычисление

Мощность - скорость преобразования энергии в электрической цепи; мощность, выделяемая на элементе, связана с напряжением и током формулой $P=VI$.

Для резистора удобны альтернативные формы записи мощности: используя закон Ома, получают формулы $P=I^2R$ и $P=\dfrac{V^2}{R}$. Они позволяют оценивать потери энергии в проводниках и нагрев резисторов при заданном токе или напряжении.

При наличии источника с внутренним сопротивлением полезную мощность, отдаваемую нагрузке, можно максимизировать. Условие максимальной передачи мощности достигается при соответствии сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника, что даёт правило $R_{\text{load}}=r$.

Измерительные приборы и правила включения

Для измерения тока используют амперметр, сопротивление которого стремятся сделать как можно меньшим, чтобы минимально искажать исследуемую схему. Амперметр включают последовательно в ту ветвь, в которой измеряется ток. Для измерения напряжения используют вольтметр с большим внутренним сопротивлением; вольтметр включают параллельно элементу, напряжение на котором измеряется.

При анализе схем важно соблюдать правила включения приборов: неправильное включение может привести к значительной погрешности измерения или короткому замыканию. Всегда учитывайте внутренние сопротивления приборов и при необходимости вносите поправки в расчёт, используя понятие эквивалентного сопротивления и проводимости $G=\dfrac{1}{R}$.

Практические рекомендации при решении задач

1) Сначала упростите схему: замените последовательные и параллельные участки эквивалентными сопротивлениями по формулам $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\dots+R_n$ и $\dfrac{1}{R_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dots+\dfrac{1}{R_n}$. 2) Обозначьте направления токов и выберите контуры для применения правил Кирхгофа $\sum_k I_k=0$ и $\sum_k \Delta V_k=0$. 3) Запишите уравнения и решите систему для неизвестных величин. 4) Проверяйте размерности и знак результатов.

Дополнительно полезно уметь оценивать порядок величин: вычислять запас по мощности, проверять, не превышает ли допустимая мощность резистора вычисленные значения по формулам $P=VI$–$P=\dfrac{V^2}{R}$. При проектировании цепей учитывайте удельное сопротивление материалов и геометрию проводников по формуле $R=\rho\dfrac{\ell}{A}$.

Краткие выводы

Понимание топологии цепи, владение законом Ома и законами Кирхгофа — ключ к правильному анализу цепей постоянного тока. Правильное применение формул для последовательного и параллельного соединений, учёт внутреннего сопротивления источников и оценка мощности позволяют решать типовые задачи школьного курса физики.

{IMAGE_0}