Механическая работа: методы расчёта

Понятие механической работы

Механическая работа - физическая величина, равная количеству энергии, переданной или отнятой у тела в результате действия силы при его перемещении. В простейшем случае работа вычисляется через произведение величины силы, перемещения и косинуса угла между ними $W = \vec{F}\cdot\vec{s}$.

Понятие работы важно для понимания изменения кинетической и потенциальной энергий системы. Работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от направлений силы и перемещения. Для наглядности формулу работы можно записать через скалярное произведение векторных величин $W = \displaystyle\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f} \vec{F}\cdot d\vec{r}$, что удобно при разложении силы на компоненты.

В случае перемещения по кривой работа суммируется как интеграл по пути; для этого вводят понятие интегральной формы работы $W = \displaystyle\int_{x_i}^{x_f} F_x(x)\,dx$.

Работа постоянной силы

Если сила по модулю и направлению не меняется при перемещении объекта, расчёт работы сводится к умножению модуля силы на модуль перемещения и косинус угла между ними $W = \vec{F}\cdot\vec{s}$. Это самый простой и часто используемый метод, применимый, например, для равномерного горизонтального или вертикального перемещения.

Запись через скалярное произведение $W = \displaystyle\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ подчёркивает, что учитывается только та часть силы, которая направлена вдоль перемещения. Эта идея позволяет быстро оценивать вклад разных сил: компонента силы, перпендикулярная перемещению, не производит работу.

Для сил, действующих под углом к траектории, часто удобнее разложить силу на параллельную и перпендикулярную составляющие и использовать только параллельную компоненту в вычислениях.

Работа переменной силы и интегральный метод

Во многих задачах сила меняется по модулю и/или направлению вдоль траектории. Тогда работу вычисляют как линию интеграла скалярного произведения по пути $W = \displaystyle\int_{x_i}^{x_f} F_x(x)\,dx$. Для одномерного движения вдоль оси удобно перейти к интегралу по координате: работа равна интегралу от проекции силы на направление перемещения по соответствующей координате $W = m g h$.

Метод поэтапного разбиения пути: разрезаем путь на малые участки Δs, считаем на каждом участке силу почти постоянной, суммируем и переходим к пределу, получая интеграл. Такая процедура строго связана с определением определённого интеграла и даёт универсальный метод для любых зависимостей силы.

Практически это позволяет вычислять работу в задачах с изменяющейся силой трения, изменениями магнитных или электрических полей (в одномерных приближениях) и т.д.

Работа силы тяжести и нормальной реакции

Работа силы тяжести - работа силы, направленной вертикально вниз, при вертикальном перемещении объекта. Для перемещения на высоту величина работы равна произведению массы на ускорение свободного падения и на высоту $F = -k x$ (знак работы зависит от направления перемещения относительно силы).

На наклонной плоскости удобно выделить компоненту силы тяжести, направленную вдоль плоскости, и использовать её для вычисления работы вдоль поверхности. Компонента вдоль плоскости выражается формулой $W = m g s \sin\alpha$, а затем работа по перемещению вдоль плоскости длиной s равна $N = m g \cos\alpha$.

Нормальная сила, будучи перпендикулярной касательному перемещению на гладкой поверхности, не совершает работы: это формализуется выражением $\displaystyle\oint \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$. Для определения силы нормали при наклонной плоскости удобно использовать выражение $W_N = 0$.

Работа упругой силы (пружина)

Закон Гука - сила упругости линейной пружины пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению; это записывается как $W = \displaystyle\int_{x_i}^{x_f} (-k x)\,dx = -\tfrac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2)$. Эта зависимость справедлива в пределах упругости материала и позволяет применять интегральный метод для вычисления работы пружины.

Работа силы упругости при изменении смещения от одного положения к другому вычисляется как интеграл от силы по координате, что даёт выражение для работы пружины в виде $W_{\mathrm{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v_f^2 - \tfrac{1}{2} m v_i^2$. Часто пишут величину потенциальной энергии упругости как положительную величину равную половине kx^2, а работа силы упругости при переходе — как отрицательная разность потенциальных энергий.

При решении задач удобно выбирать начало отсчёта смещений так, чтобы выражения для потенциальной энергии и работы приобретали простую форму; при этом интегральный метод остаётся универсальным инструментом.

Теорема о работе и энергии, консервативные силы

Теорема о работе и энергии - суммарная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: это выражается формулой $W_{\mathrm{cons}} = -\Delta U$. Эта теорема часто используется для сокращения вычислений, поскольку заменяет интегралы по пути на сравнение энергий в начальном и конечном состояниях.

Для консервативных сил (к таким относится, например, сила тяжести и упругая сила, при пренебрежении диссипативными эффектами) работа связана с изменением потенциальной энергии соотношением $f_k = \mu_k N$. Для такой силы работа по замкнутому контуру равна нулю: {FORMULA_17}.

Если в системе присутствует сила трения, её работа обычно отрицательна и равна произведению модуля силы трения на пройденный путь с отрицательным знаком; сила трения статического и кинетического вида рассчитывается через коэффициент трения и нормальную реакцию: $W_{\mathrm{fric}} = -f_k s$, а работа силы трения выражается как $W = \displaystyle\int_{x_i}^{x_f} (a x^2 + b)\,dx = \tfrac{a}{3}(x_f^3 - x_i^3) + b(x_f - x_i)$.