Закон Гука

Формулировка закона Гука для пружины

Закон Гука - при малых упругих деформациях сила упругости прямо пропорциональна величине смещения, направлена в сторону, противоположную смещению.

В классической формулировке для линейной пружины это записывают как $\mathbf{F} = -k\mathbf{x}$. Здесь знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, возвращающую систему в равновесное состояние. В практических задачах часто рассматривают только модуль силы и используют эквивалентную скалярную запись $|F| = kx$, чтобы подчеркнуть пропорциональность между модулем силы и величиной деформации.

Коэффициент пропорциональности называется «жёсткостью» или «пружинной постоянной» и определяется как отношение силы к удлинению: $k = \dfrac{F}{x}$. Он характеризует, насколько пружина сопротивляется растяжению или сжатию: чем больше $k = \dfrac{F}{x}$, тем жёстче пружина.

Для наглядности можно привести схематическое изображение пружины в состоянии равновесия и при растяжении {IMAGE_0}. На графике зависимости силы от удлинения прямая линия проходит через начало координат, если пружина идеальна и остаётся в области малых деформаций.

Пружинная постоянная и её измерение

Пружинная постоянная (жёсткость) k - параметр, равный отношению силы упругости к деформации при малых отклонениях от положения равновесия.

Экспериментально k находят путём измерения силы при известном удлинении и использования формулы $k = \dfrac{F}{x}$. На практике проводят серию измерений при разных удлинениях, строят график зависимости силы от удлинения и определяют k как угловой коэффициент прямой через начало координат.

Если к пружине приложена масса и система совершает малые колебания, частота колебаний даёт дополнительный способ определения k по связи с массой тела: $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ и через частоту $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$. Эти формулы показывают, что по измеренной частоте и известной массе можно найти жёсткость пружины.

Упругая энергия и работа при деформации

Упругая энергия - потенциальная энергия, запасённая в теле при упругой деформации, которую тело может отдать при восстановлении формы.

Работа силы упругости при растяжении пружины от нулевого удлинения до смещения x равна площади под графиком зависимости силы от удлинения, то есть интегралу $W=\displaystyle\int_{0}^{x}k x''\,dx''$. Подставляя выражение силы получаем выражение для упругой энергии, запасённой в пружине: $U = \tfrac{1}{2}kx^{2}$.

Эта энергия важна при анализе столкновений, колебаний и ударных процессов, где часть кинетической энергии может перейти в упругую форму и затем вернуться обратно. Для многих задач полезно помнить, что при симметричных малых колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется и переходит между кинетической и потенциальной (упругой) формами.

Стоит отметить, что выражение для энергии справедливо при условии линейной зависимости силы от деформации; при больших деформациях закон Гука может не выполняться и энергия рассчитывают по интегралу с реальной зависимостью F(x).

Применение закона Гука в макроскопической механике и теории упругости

Деформация - изменение формы или размеров тела под действием внешних сил; в линейной теории упругости деформация мала по сравнению с исходными размерами.

В объёмной (континуальной) механике аналог закона Гука связывает нормальное напряжение и относительную деформацию (натяжение и удлинение) пропорционально через модуль Юнга: $\sigma = E\,\varepsilon$. Эта зависимость применяется к элементам материала, где деформации малы и материал ведёт себя линейно упруго.

Важно помнить, что закон Гука в виде $\sigma = E\,\varepsilon$ действует для малых деформаций и в области упругого поведения материала. При пластической деформации возникает необратимое изменение структуры, и простая линейная связь нарушается.

Сочетания пружин: последовательное и параллельное соединение

В инженерных задачах часто рассматривают комбинации пружин. При параллельном соединении пружин их жёсткости складываются, так что эквивалентная жёсткость равна $k_{\mathrm{eq}}=k_{1}+k_{2}$. Это объясняется тем, что каждая пружина выдерживает часть нагрузки, а суммарное удлинение для заданной силы будет одинаковым для всех параллельных ветвей.

При последовательном соединении общая деформация равна сумме деформаций отдельных пружин, а для эквивалентной жёсткости выполняется соотношение $\dfrac{1}{k_{\mathrm{eq}}}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}$. Последовательное соединение делает систему мягче по сравнению с любой отдельной пружиной в цепочке.

Знание этих правил позволяет моделировать сложные упругие системы и вычислять их характеристики, например, при проектировании подвесок, амортизаторов и упругих связей в конструкциях.

Ограничения применимости и нелинейные эффекты

Закон Гука справедлив для малых упругих деформаций и для материалов, поведение которых можно считать линейным упругим. При больших деформациях наблюдаются нелинейные зависимости сила-деформация, что требует более сложных моделей.

Кроме того, реальная пружина может иметь внутренние потери (диссипацию), трение витков, пластическую деформацию при больших нагрузках и температурную зависимость жёсткости. Все эти эффекты выводят поведение из простого закона Гука и должны учитываться в инженерной практике.

Тем не менее, закон Гука остаётся фундаментальным инструментом для изучения малых колебаний, анализа устойчивости и обучения базовым принципам механики. Он выступает отправной точкой для многих более продвинутых моделей упругости и динамики материалов.

Примеры и решаемые задачи