КонспектыФизика

Механическая работа

Механическая работа

Понятие механической работы

Механическая работа — это физическая величина, характеризующая действие силы на тело при его перемещении. В общем случае работа равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на длину этого перемещения; этот общий смысл формулируется через скалярное произведение силы и вектора перемещения.

Механическая работа - скалярная величина, равная скалярному произведению силы и перемещения, показывающая, какое количество энергии передано телу или взято у тела при перемещении.

Математически связь между силой и перемещением при постоянной по модулю и направлению силе выражается формулой, где учитывается угол между направлением силы и направлением перемещения: W=F⃗⋅s⃗=Fscos⁡θW=\vec{F}\cdot\vec{s}=F s \cos\theta.

Если сила не постоянна или тело движется по кривой, работу удобно описывать через элементарную работу и интеграл вдоль траектории: dW=F⃗⋅dr⃗\mathrm{d}W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} и W=∫rirfF⃗⋅dr⃗W=\displaystyle\int_{r_i}^{r_f}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}. Эти соотношения позволяют считать работу при сложных движениях и переменных силах.

Определение и примечания

Элементарная работа - бесконечно малое количество работы, совершаемое при перемещении тела на бесконечно малый вектор перемещения; определяется как скалярное произведение силы и приращения координаты.

При использовании элементарной записи важно помнить, что знак работы зависит от взаимного направления силы и перемещения: если угол между ними острый, косинус положителен и работа положительна; если угол тупой — работа отрицательна; при перпендикулярном расположении сила не совершает работы. Эти случаи формально связаны со значениями функции косинуса, например cos⁡(90∘)=0\cos(90^{\circ})=0 и cos⁡(0∘)=1,cos⁡(180∘)=−1\cos(0^{\circ})=1,\quad \cos(180^{\circ})=-1.

Единицей работы в Международной системе единиц (СИ) является джоуль. Это эквивалент произведению силы в ньютонах на перемещение в метрах: 1 J=1 N⋅m1\ \mathrm{J}=1\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}. Джоуль также можно связать с другими единицами энергии и работы, что делает эту величину удобной для расчётов в разных задачах.

Работа может быть и положительной, и отрицательной. Положительная работа соответствует передаче энергии телу, отрицательная — изъятию энергии (например, сила трения уменьшает кинетическую энергию). Эту общую связь закрепляет принцип работы и кинетической энергии: Wnet=ΔK=Kf−KiW_{\text{net}}=\Delta K=K_f-K_i, где кинетическая энергия определяется формулой K=12mv2K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.

Примеры расчёта работы при постоянной силе

Рассмотрим частый практический случай: тело перемещается по прямой под действием постоянной силы, которая образует угол с направлением перемещения. В этом случае используется формула W=F⃗⋅s⃗=Fscos⁡θW=\vec{F}\cdot\vec{s}=F s \cos\theta. Для наглядности рассмотрим численный пример: пусть сила равна 10 Н, перемещение равно 5 м, а угол между ними 30 градусов. Тогда работа равна W=10⋅5⋅cos⁡(30∘)=50cos⁡(30∘) JW=10\cdot 5\cdot\cos(30^{\circ}) = 50\cos(30^{\circ})\ \mathrm{J}.

Пример: груз тянут за ручку со значением силы и перемещается на заданное расстояние под углом к горизонту. В расчёте используют проекцию силы на направление перемещения и формулу работы. На рисунке схематично показаны сила, перемещение и угол между ними: {IMAGE_0}.

Если сила направлена перпендикулярно перемещению, то работа равна нулю. Такое часто встречается, например, при движении по круговой траектории при центральных силах или при несжимаемом движении под действием силы нормали.

Работа при переменных силах. Примеры: пружина

Когда сила зависит от координаты или времени, суммирование работы по конечным участкам заменяется интегрированием элементарной работы вдоль траектории: W=∫rirfF⃗⋅dr⃗W=\displaystyle\int_{r_i}^{r_f}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}. Это правило служит основой для расчётов в механике, где силы часто изменяются с положением.

Консервативная сила - сила, работа которой при перемещении между двумя заданными точками не зависит от формы пути, а зависит только от начального и конечного положений; примеры: сила тяжести, сила упругости идеальной пружины (в пределах линейной области).

В частности, для идеальной пружины сила упругости описывается законом Гука: F⃗=−kx\vec{F}=-k x. Работа по растяжению или сжатию пружины от положения W=−∫x1x2kx dx=−12k(x22−x12)W=-\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} k x\, \mathrm{d}x = -\tfrac{1}{2} k (x_2^{2}-x_1^{2}) вычисляется интегрированием силы по перемещению и даёт выражение, пропорциональное квадрату смещения.

Пример: найти работу, совершённую при растяжении пружины с жёсткостью k от положения x_1 до x_2. Рассчитываем, подставляя закон Гука в выражение для работы и интегрируя: W=−∫x1x2kx dx=−12k(x22−x12)W=-\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} k x\, \mathrm{d}x = -\tfrac{1}{2} k (x_2^{2}-x_1^{2}). Важно учитывать знак работы в зависимости от выбранной ориентации координат.

Работа силы тяжести и другие частые случаи

Для вертикального перемещения под действием силы тяжести часто используется простое выражение, связывающее работу с массой и высотой. Если тело поднимается или опускается вертикально в однородном поле тяжести, работа силы тяжести записывается как W=mghW=m g h с соответствующим знаком в зависимости от направления перемещения относительно силы тяжести.

Для сил трения, направленных против перемещения, работа обычно отрицательна и вычисляется как произведение модуля силы трения на пройденный путь с минусом: Wfr=−fsW_{\text{fr}}=-f s. Это выражение используется при оценке потерь механической энергии на тепло при скольжении и качении без учёта усложняющих факторов.

Связь между работой консервативных сил и потенциальной энергией выражается соотношением: если работа совершается консервативной силой, то она равна минус изменения потенциальной энергии тела: Wcons=−ΔUW_{\text{cons}}=-\Delta U. Это позволяет переходить от описания силы к описанию энергетических запасов системы.

Мощность и скорость совершения работы

Помимо самой работы важно оценивать, как быстро она совершается. Интенсивность выполнения работы характеризует мощность. Мгновенная мощность определяется как производная выполненной работы по времени: P=dWdtP=\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}. Средняя мощность за интервал времени определяется как выполненная работа, делённая на длительность этого интервала: Pavg=WtP_{\text{avg}}=\dfrac{W}{t}.

В задачах практического характера часто требуется соединять понятия силы, работы и мощности: например, зная постоянную силу и скорость тела, можно показать, что мощность равна проекции силы на скорость. В таких выводах важно аккуратно применять понятие скалярного произведения и соблюдать единицы измерения.

Пример: если за время t совершается работа W, то средняя мощность равна отношению работы к времени, и её можно записать как Pavg=WtP_{\text{avg}}=\dfrac{W}{t}. Это правило удобно применять при оценке эффективности машин и двигателей.

Итоги и практические советы

При решении задач по работе важно точно определить направление силы и направление перемещения, выбрать удобную систему координат и внимательно следить за знаками: положительная работа добавляет энергию телу, отрицательная — отнимает. Для переменных сил используйте интегральный подход W=∫rirfF⃗⋅dr⃗W=\displaystyle\int_{r_i}^{r_f}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}.

Систематическая практика с различными типами сил — постоянными, зависимыми от координаты (как в законе Гука), от времени, а также с диссипативными силами (трение) — поможет понять физический смысл работы и научиться быстро выбирать верную формулу в задаче. При необходимости иллюстрируйте задачи схемами и графиками зависимости силы от координаты или времени: {IMAGE_1}.