Магнитное поле

Введение и физическая природа

Магнитное поле — это особый вид поля, порождаемый движущимися электрическими зарядами и изменяющимися электрическими полями. Оно влияет на другие заряды и токи, действуя на них силой, направление и величина которой зависят от скоростей зарядов и ориентации поля. В школьном курсе мы рассматриваем магнитное поле как векторное поле, которое в каждой точке задаётся вектором индукции.

Магнитное поле - векторное поле, которое создаётся движущимися зарядами и проявляет себя действием на другие движущиеся заряды и проводники с током.

Важной наглядной моделью магнитного поля служат силовые линии (линии индукции). Они показывают направление вектора магнитной индукции в каждой точке. Линии не имеют ни начала, ни конца: они замкнуты или уходят на бесконечность.

Магнитное поле характеризуют несколько физических величин: магнитная индукция B, напряжённость магнитного поля H и магнитный момент m. Взаимосвязи между этими величинами рассматриваются в разделах о материалах и векторных уравнениях.

Сила Лоренца и сила Ампера

Сила Лоренца - сила, действующая со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу, движущуюся со скоростью v.

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует векторная сила, называемая силой Лоренца; её векторная форма записывается как $\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$. Эта формула подчёркивает векторное произведение скорости частицы на магнитную индукцию: сила перпендикулярна и скорости, и полю.

Модуль силы Лоренца для частицы со скоростью, составляющей угол θ с направлением вектора B, равен $F=q\,v\,B\,\sin\theta$. Отсюда видно, что сила максимальна при пересечении скоростью линий поля под прямым углом и равна нулю при движении вдоль линий.

Сила Ампера - сила, с которой магнитное поле действует на участок проводника с током.

Для элементарного участка проводника длиной dl, по которому протекает ток I, дифференциальный элемент силы задаётся через векторное произведение тока и локальной индукции: $d\mathbf{F}=I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$. Интегрирование этой формулы по всей длине проводника даёт полную силу, действующую на проводник.

Закон Био — Савара и закон Ампера

Магнитное поле, создаваемое произвольным током, можно вычислить по закону Био — Савара, который связывает вклад элементарного тока с индукцией в данной точке пространства. Дифференциальное поле от элементарного участка тока выражается как $d\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}$.

Интегрируя выражение закона Био — Савара по всей конфигурации токов, получают полное поле. Для симметричных задач часто удобнее применять интегральную форму закона Ампера, которая формулируется как $\displaystyle\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}$. Практическое применение закона Ампера особенно удобно для расчёта полей при высокой симметрии — прямой провод, соленоид, тороид.

Пример часто используемой формулы — поле длинного прямого проводника на расстоянии r от него. По результатам интегрирования закона Био — Савара, модуль индукции равен $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

Силы между проводниками и магнитный момент

Два параллельных прямых длинных проводника, по которым текут токи I_1 и I_2, взаимодействуют посредством магнитного поля: на единицу длины между ними действует сила, модуль которой задаётся формулой $\dfrac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$. Знак силы (притяжение или отталкивание) зависит от направлений токов: одинаковые направления — провода притягиваются, противоположные — отталкиваются.

Магнитный момент - вектор, характеризующий текущую петлю, равный произведению тока на векторную площадь контура.

Для плоской прямоугольной или круглой витка магнитный момент определяется как $\mathbf{m}=I\mathbf{A}$. Момент направлен по правилу буравчика и определяет усилие, с которым магнитное поле повернёт виток: момент сил (торque) равен $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}$.

Энергия магнитного диполя в однородном поле выражается через действие магнитного момента: $U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}$. Это выражение показывает, что равновесие достигается при выравнивании магнитного момента по полю.

Магнитный поток и закон Фарадея — Ленца

Магнитный поток - скалярная величина, равная интегралу нормальной составляющей вектора магнитной индукции по площади: $\Phi_B=\displaystyle\int\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$.

Закон электромагнитной индукции (Фарадея) связывает время́вой темп изменения магнитного потока с наведённой в замкнутом контуре электродвижущей силой (ЭДС): $\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}$. Знак «минус» в законе Ленца определяет направление наведённой ЭДС так, чтобы противодействовать изменению потока.

Для проводника длиной ℓ, движущегося в однородном поле со скоростью v перпендикулярно полю, индуцированная ЭДС даётся упрощённой формулой $\mathcal{E}=B\ell v$. Это полезно при решении задач с движущимися рамками и проводниками.

Индуктивность и энергия магнитного поля

Если изменение тока в контуре вызывает изменение магнитного потока через этот контур, то создаётся ЭДС самоиндукции. Связь между потоком и током в линейном контуре даёт определение индуктивности: $\Phi=LI$, где L — индуктивность контура.

Энергия, запасённая в магнитном поле индуктивного элемента при токе I, равна $U=\dfrac{1}{2}LI^{2}$. Это выражение аналогично энергии, запасённой в электрическом конденсаторе, и используется при расчёте энергопотребления и процессов переключения в электрических цепях.

Магнитные свойства материалов

Вещества в магнитном поле поляризуются — появляется намагничивание M, которое связано с напряжённостью поля H через магнитную восприимчивость χ_m: $\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H}$. Для разных материалов χ_m может быть положительной (пара-, ферромагнетики) или отрицательной (диамагнетики).

Связь между B и H в материале обычно записывают как $\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$, где μ_0 — магнитная постоянная, а M — намагниченность. Для однородных линейных материалов часто используют понятие проницаемости μ и относительной проницаемости μ_r: $\mu=\mu_0\mu_r$.

Ферромагнитные материалы обладают сложной нелинейной зависимостью B(H), насыщением и гистерезисом; в школьном курсе рассматривают базовые свойства и применение в трансформаторах, сердечниках электромагнитов и электродвигателях.

Примеры, применения и задачи

Магнитное поле широко используется: электродвигатели, генераторы, трансформаторы, магнитные записывающие устройства, медицинская томография (МРТ) и др. Понимание законов и формул позволяет решать практические задачи по расчёту полей и сил.

Для подготовки к экзаменам важно уметь применять формулы закона Био — Савара и закона Ампера, вычислять магнитный поток и оценивать наведённую ЭДС при разнообразных геометриях. Разбор эталонных задач укрепляет навыки анализа и перехода от векторных формул к численным ответам.

{IMAGE_0}