Изотермический процесс

Общее определение и физическая суть

Изотермический процесс - термодинамический процесс, происходящий при постоянной температуре системы.

В изотермическом процессе температура идеального газа не меняется во времени. Это означает, что средняя кинетическая энергия молекул остаётся постоянной, даже если объем и давление могут изменяться. Для описания состояния идеального газа удобно использовать уравнение состояния, которое связывает давление, объем и температуру:

$PV = nRT$.

Если температура постоянна, то при изменении объёма и давления выполняется соотношение, известное как закон Бойля — Марриотта для данного количества вещества: $P_1 V_1 = P_2 V_2$. Это отражает тот факт, что произведение давления на объем остаётся постоянным при изотермическом изменении.

Энергетический баланс: работа и теплообмен

Для любого термодинамического процесса действует первый закон термодинамики, записываемый как соотношение между изменением внутренней энергии, полученным теплом и совершенной системой работой:

$\Delta U = Q - W$.

Внутренняя энергия - суммарная энергия микроскопических степеней свободы системы, включающая кинетическую и потенциальную энергию молекул.

Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при неизменной температуре изменение внутренней энергии равно нулю:

$\Delta U = 0$. Из уравнения первого закона следует, что при изотермическом процессе подводимое к системе тепло полностью идет на совершение работы газом или наоборот:

$Q = W$.

Вычисление работы при изотермическом процессе

Работа, совершаемая газом при изменении объёма от V1 до V2, определяется интегралом давления по изменению объёма. В случае обратимого (квазистатического) процесса используем понятие дифференциальной работы и получаем выражение:

$W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV$.

Чтобы выполнить интегрирование, подставим выражение для давления идеального газа в виде функции объема при фиксированной температуре:

$p = \dfrac{nRT}{V}$.

После подстановки и интегрирования получается аналитическая формула для работы (для обратимого изотермического процесса идеального газа):

$W = nRT \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$.

Физический смысл формулы работы

Выражение $W = nRT \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$ отражает логарифмическую зависимость работы от отношения конечного и начального объёмов. Знак работы зависит от того, расширяется газ или сжимается: при расширении V2>V1 логарифм положителен и система совершает положительную работу на окружение, при сжатии логарифм отрицателен и работу совершает окружение над газом.

Численный подсчёт требует знания количества вещества, температуры и универсальной газовой постоянной. Для молей и температуры в обычных единицах используется постоянная:

$R = 8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$.

Таким образом, при известных n, T, V1 и V2 работа определяется однозначно и равна теплу, обменянному с резервуаром при обратимом процессе.

Изотермический процесс в циклах и его роль в тепловых машинах

Изотермические переходы играют ключевую роль в теоретических циклах тепловых машин. Например, в цикле Карно два из четырёх этапов являются изотермическими: один при высокой температуре, другой при низкой. За счёт обмена теплом с источниками постоянной температуры производится полезная работа за счёт теплопоступления и отвода.

Для изотермического участка цикла тепловая величина тепла, полученного или отданного системой, равна соответствующей работе и может быть рассчитана по той же формуле. Если для горячего участка изменить обозначения, то количество тепла, получаемого от горячего резервуара, равно:

$W = nRT \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$.

Изменение энтропии идеального газа при изотермическом процессе можно выразить через переданное обратимо тепло и T:

$\Delta S = \dfrac{Q_{\mathrm{rev}}}{T}$.

Подставляя значение Q из равенства с работой, получаем для изменения энтропии:

$\Delta S = nR \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$.

Практические замечания и ограничения идеальности

Реальные газы при высоких давлениях и низких температурах отклоняются от модели идеального газа. В таких условиях изотермический процесс не обязательно будет описываться формулой $W = nRT \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$ с высокой точностью, и потребуется учитывать поправки (например, уравнение Ван-дер-Ваальса или другие состояния). Тем не менее для многих школьных задач и лабораторных опытов модель идеального газа даёт достаточно хорошее приближение.

В лабораторной практике изотермическое условие реализуется путем медленной теплообменной связи с термостатом так, чтобы температура оставалась практически постоянной. Важно различать обратимый (квазистатический) изотермический процесс и быстрое изотермическое изменение: только в квазистатическом пределе работа соответствует интегралу давления по объему, вычисляемому через функцию состояния.

Реверсивный (квазистатический) процесс - идеализированный процесс, протекающий бесконечно медленно, так что система проходит через непрерывный ряд равновесных состояний.

Итоги и ключевые выводы

Коротко о главном: при изотермическом процессе температура идеального газа постоянна и внутренняя энергия не меняется ($\Delta U = 0$), поэтому всё тепло, подведённое или отведённое, идёт соответственно на совершение работы ($Q = W$). Для обратимого изотермического процесса работа выражается формулой $W = nRT \ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$, полученной интегрированием уравнения состояния $PV = nRT$.

Знание поведения изотермического процесса важно для решения задач на тепловые циклы, вычисление энтропийных изменений и понимание принципов работы идеальных тепловых машин. В практических приложениях необходимо учитывать отклонения реальных газов от идеальности и особенности теплообмена в экспериментальных установках.