Нулевая степень

Нулевая степень — это понятие из арифметики и алгебры, которое отвечает на вопрос: чему равно число при возведении в показатель, равный нулю. Для любого ненулевого основания это даёт единицу: $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$. Такое определение вытекает из свойств степеней: если разделить одинаковые степени одного числа, то результат равен единице, а по правилу вычитания показателей получается нулевая степень. Формулы, иллюстрирующие этот вывод, можно записать так: $\dfrac{a^m}{a^m} = 1$ и $a^{m-m} = a^0$. Это обоснование помогает увидеть нулевую степень не как отдельное правило, а как следствие общих законов арифметики степеней.

Применение нулевой степени широко: при упрощении выражений, в преобразованиях алгебраических выражений и при вычислениях с переменными. Часто в задачах нужно сократить одинаковые множители или привести выражение к более простому виду, и правило нулевой степени экономит вычислительные шаги. При этом важно помнить особый случай основания равного нулю: выражение $0^0\text{ — неопределённое выражение}$ не задаётся однозначно и требует отдельной осторожности — в чистой элементарной алгебре его обычно считают неопределённым, а в рамках некоторых предельных переходов или комбинаторики может давать осмысленные значения по соглашению.

Ещё одно полезное свойство связанное с нулевой степенью следует из общего правила работы с показателями: $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad (a\neq0)$. Из него приравнивая показатели получается обоснование формулы для нулевой степени, а также объяснение распространённых ошибок. Часто ученики ошибочно применяют правило к нулю в основании, поэтому полезно запомнить: правило справедливо при ненулевом основании. На практике это правило помогает проверять результаты и быстро вычислять значения выражений с переменными.