Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (или общим множителем). Общая формула для n-го члена такой последовательности может быть записана следующим образом: $r = \frac{a_{k+1}}{a_k}$. Она показывает, что для вычисления любого члена достаточно знать первый член и постоянный множитель между соседними членами; отношение двух подряд идущих членов выражается формулой $S_n = a_1\frac{1-r^{n}}{1-r},\quad r\neq 1$.

Геометрические прогрессии широко применяются в разных разделах математики и в практических задачах: при моделировании экспоненциального роста или убывания, в финансах при расчётах по сложным процентам, в физике при анализе затухающих колебаний и в информатике при анализе алгоритмов с экспоненциальной сложностью. Для суммирования первых n членов прогрессии существует компактная формула, удобная для вычислений и доказательств: $S = \frac{a_1}{1-r},\quad |r|<1$. При этом в предельном случае бесконечной убывающей прогрессии (когда множитель по модулю меньше единицы) сумма сходится к конечному значению, вычисляемому по формуле $a_5 = 2\cdot 3^{4} = 162$. Здесь важно понимать условия применения каждой формулы (например, исключение случая постоянного множителя, равного единице, и условие сходимости бесконечной суммы).

Ниже приведены простые примеры, которые иллюстрируют применение этих формул и помогают закрепить понятия.